設無窮數(shù)列的首項，前項和為（），且點在直線上（為與無關的正實數(shù)）．
（1）求證：數(shù)列（）為等比數(shù)列；
（2）記數(shù)列的公比為，數(shù)列滿足，設，求數(shù)列的前項和；
（3）（理）若（1）中無窮等比數(shù)列（）的各項和存在，記，求函數(shù)的值域.

(1)證明見解析；(2)；(3)．

解析試題分析：(1)把已知條件變形為，要化為數(shù)列項的關系，一般方法是用代得，兩式相減，得，從而得前后項比為常數(shù)，只是還要注意看看是不是有，如有則可證得為等比數(shù)列；(2)由定義可知數(shù)列是等差數(shù)列，(是數(shù)列公差)，從而數(shù)列也是等差數(shù)列，其前和易得，這說明我們在求數(shù)列和時，最好能確定這個數(shù)列是什么數(shù)列；(3)首先無窮等比數(shù)列的和存在說明公比滿足，從而得出，無窮等比數(shù)列的和公式得，這是一次分式函數(shù)，其值域采用分離分式法，即，易得．
試題解析：（1）由已知，有，
當時，；         2分
當時，有，
兩式相減，得，即，
綜上，，故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；   4分
（2）由（1）知，，則
于是數(shù)列是公差的等差數(shù)列，即，        7分
則

=        10分
（3）（理）由解得：。         12分
         14分
，當時，，函數(shù)的值域為。      16分
考點：(1)數(shù)列的前項和與的關系，等比數(shù)列的定義；(2)等差數(shù)列的前項和；(3)無窮等比數(shù)列的和及一次分式函數(shù)的值域．

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,首項為a1,且,an,Sn成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若=,設cn=,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列是等差數(shù)列，且
（1）求數(shù)列的通項公式  （2）令，求數(shù)列前n項和

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S4，S2，S3成等差數(shù)列，且a2＋a3＋a4＝－18.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)是否存在正整數(shù)n，使得Sn≥2 013？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)對任意m∈N*，將數(shù)列{an}中落入區(qū)間(9m,92m)內的項的個數(shù)記為bm，求數(shù)列{bm}的前m項和Sm.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

若正數(shù)項數(shù)列的前項和為，首項，點，在曲線上.
（1）求，；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）設,表示數(shù)列的前項和，若恒成立，求及實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知{an}為等差數(shù)列，且a2＝－1，a5＝8.
(1)求數(shù)列{|an|}的前n項和；
(2)求數(shù)列{2n·an}的前n項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知各項均不相等的等差數(shù)列{an}的前5項和為S5＝35，且a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設Tn為數(shù)列的前n項和，問是否存在常數(shù)m，使Tn＝m，若存在，求m的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的前項和為，且是和的等差中項，等差數(shù)列滿足，.
（1）求數(shù)列、的通項公式； 
（2）設，數(shù)列的前項和為，求的取值范圍.

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