Question

6．設(shè)數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，則下面四個(gè)數(shù)列：①{a_n³}；②{pa_n}（p為非零常數(shù)）；③{a_n•a_n+1}；④{a_n+a_n+1}．其中是等比數(shù)列的序號(hào)為①②③．（填上所有正確的序號(hào)）

Answer 1

分析 由：{a_n}為等比數(shù)列，可得出$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=q（q≠0）（n＞1），利用等比數(shù)列的定義，求出下列數(shù)列的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值，由比值確定是否為等比數(shù)列．

解答 解：{a_n}為等比數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=q（q≠0）（n＞1），
①（$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$）³=q³，
∴{a_n³}是公比為q³的等比數(shù)列；
②p$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=pq，
∴{pa_n}（p為非零常數(shù)）是以pq為公比的等比數(shù)列；
③$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=q²，
∴{a_n•a_n+1}是以q²為公比的等比數(shù)列；
④若原數(shù)列公比q=-1，則a_n+a_n+1=0，不是等比數(shù)列，故錯(cuò)誤；$\frac{{a}_{n}{+a}_{n+1}}{{a}_{n-1}+{a}_{n}}$=q，
∴{a_n+a_n+1}是以公比為q為公比的等比數(shù)列．
故答案為①②③．

點(diǎn)評(píng) 考查了等比數(shù)列的定義和判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．