Question

已知橢圓T：

x2

4

+

y2

3

=1，A、B為橢圓T的左、右頂點，P為橢圓上異于A、B的任意一點，直線PA、PB交直線x=6于M、N兩點，則線段MN的最小值是

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：設P（s，t），由已知條件推導出M（6，

8

s+2

t），N（6，

4

s-2

t），|MN|=|

8

s+2

t-

4

s-2

t|=|

4t(s-6)

s2-4

|，又P（s，t）在橢圓上，得到|MN|²=

12(s-6)2

4-s2

，設W=

12(s-6)2

4-s2

，則（12+W）s²-144s+432-4W=0，由此利用根的判別式能求出線段MN的最小值是4

6

．

解答： 解：∵橢圓T：

x2

4

+

y2

3

=1，A、B為橢圓T的左、右頂點，
∴A（-2，0），B（2，0），
設P（s，t），由題意直線PA的方程為

y

x+2

=

t

s+2

，直線PB的方程為

y

x-2

=

t

s-2

由于橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，∴a=2，b=

3

，c=1，
∴F到直線x=6的距離是5，
∵直線AP、BP分別交直線x=6于M、N點
∴M（6，

8

s+2

t），N（6，

4

s-2

t），
故有|MN|=|

8

s+2

t-

4

s-2

t|=|

4t(s-6)

s2-4

|，
又P（s，t）在橢圓上，故有t²=3-

3s2

4

，
∴|MN|²=

16(3- 3 4 s2)(s-6)2

(s2-4)2

=

(48-12s2)(s-6)2

(s2-4)2

=

12(s-6)2

4-s2

，
設W=

12(s-6)2

4-s2

，則（12+W）s²-144s+432-4W=0，
∵此方程有解，
∴△=144²-4（12+W）（432-4W）≥0，
解得W≥96，或W≤0（舍），
∴|MN|²≥96，解得|MN|≥4

6

．
∴線段MN的最小值是4

6

．

點評：本題考查與橢圓相關的線段的最小值的求法，解題時要熟練掌握橢圓的簡單性質，注意直線方程、根的判別式和等知識點的靈活運用．