Question

某地區(qū)的一種特色水果上市時間僅能持續(xù)5個月，預測上市初期和后期會因供不應求使價格呈連續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價格下跌．經(jīng)市場分析，價格模擬函數(shù)為以下三個函數(shù)中的一個：①f（x）=p•q^x；②f（x）=px²+qx+1；③f（x）=x（x-q）²+p．（以上三式中p，q均為常數(shù)，且q＞1）（注：函數(shù)的定義域是[0，5]）．其中x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，…，依此類推．
（Ⅰ）請判斷以上哪個價格模擬函數(shù)能準確模擬價格變化走勢，為什么？
（Ⅱ）若該果品4月1日投入市場的初始價格定為6元，且接下來的一個月價格持續(xù)上漲，并在5 月1日達到了一個最高峰，求出所選函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，為保護果農(nóng)的收益，打算在價格下跌期間積極拓寬境外銷售，且銷售價格為該果品上市期間最低價格的2倍，請你預測該果品在哪幾個月內(nèi)價格下跌及境外銷售的價格．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：應用題

分析：（Ⅰ）從研究三個函數(shù)的單調(diào)性出發(fā)，對照著題目中所說的“上市初期和后期會因供不應求使價格呈連續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價格下跌”的市場行情，確定滿足題意的函數(shù)；
（Ⅱ）由題目中的敘述可知，f（0）=6，f′（1）=0，從中解出兩個參數(shù)p，q，再寫出f（x）的解析式．
（Ⅲ）對f（x）求導，計算其在0≤x≤5時的減區(qū)間和最小值，從而確定該果品在哪幾個月內(nèi)價格下跌及境外銷售的價格．

解答： 解：（Ⅰ）應選f（x）=x（x-q）²+p．
因為①f（x）=p•q^x中單調(diào)函數(shù)；②f（x）=px²+qx+1的圖象不具有先升再降后升特征；③f（x）=x（x-q）²+p中，f'（x）=3x²-4qx+q²，令f'（x）=0，得x=q，x=

q

3

，f'（x）有兩個零點．出現(xiàn)兩個遞增區(qū)間和一個遞減區(qū)間，符合價格走勢；
（Ⅱ）由f（0）=6，f′（1）=0，得

6=p 0=3-4p+q2

，解得

p=6 q=3

（q=1舍去）．
∴f（x）=x（x-3）²+6，即f（x）=x³-6x²+9x+6（0≤x≤5）；
（Ⅲ）由f'（x）＜0，解得1＜x＜3，

x	0	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，5）	5
f（x）	6	↑	極大值 10	↓	極小值 6	↑	26

所以函數(shù)f（x）=x³-6x²+9x+6在區(qū)間（1，3）上單調(diào)遞減，
故這種水果在5月，6月份價格下跌．且境外銷售的價格為2×6=12（元）

點評：本題屬于較為基礎(chǔ)的應用題，題目中所涉及到的數(shù)學知識并不復雜，都是基本知識和方法的考查，關(guān)鍵是怎樣把現(xiàn)實中的問題抽象成數(shù)學問題，這對于學生是一個難點，同時這也是解決大多數(shù)應用題的關(guān)鍵所在．