Question

4．如圖，已知平面α∩β=l，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)B∈α，點(diǎn)C∈β，且A∉l，B∉l，直線AB與l不平行，那么平面ABC與平面β的交線與l有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出AB與l一定相交．設(shè)AB∩l=P，則P∈AB，P∈l，則點(diǎn)P是平面ABC與β的一個(gè)公共點(diǎn)，從而直線PC就是平面ABC與β的交線，由此能證明平面ABC與β的交線與l相交．

解答 解：平面ABC與平面β的交線與l相交．
證明∵AB與l不平行，且AB?α，l?α，
∴AB與l一定相交．設(shè)AB∩l=P，則P∈AB，P∈l．
又∵AB?平面ABC，l?β，∴P∈平面ABC，P∈β．
∴點(diǎn)P是平面ABC與β的一個(gè)公共點(diǎn)．
而點(diǎn)C也是平面ABC與β的一個(gè)公共點(diǎn)，且P，C是不同的兩點(diǎn)，
∴直線PC就是平面ABC與β的交線，
即平面ABC∩β=PC，而PC∩l=P．
∴平面ABC與β的交線與l相交．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩平面的交線與已知直線的位置關(guān)系的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．