點(diǎn)P是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1外的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線PA、PB分別與橢圓相切于A、B兩點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），求直線AB的方程．
（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，請(qǐng)問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠PFA與∠PFB是否總是相等？若是，請(qǐng)給出證明．
分析：（1）設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），利用導(dǎo)數(shù)可求得過(guò)點(diǎn)A的切線方程為
x1x
4
+
y1y
3
=1，由點(diǎn)P在切線上可得
x1
4
+
2y1
3
=1，同理，
x2
4
+
2y2
3
=1，由此可得AB方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），由（1）知，
mx1
4
+
ny1
3
=1，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的夾角相等，利用向量夾角公式可得結(jié)論；
解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x1，y1），
當(dāng)y≥0時(shí)，由
x2
4
+
y2
3
=1得，y=
3(1-
x2
4
)
，
則過(guò)點(diǎn)A的切線斜率k=y′|x=x1=
-
3
2
x1
2
3(1-
x12
4
)
=-
3x1
4y1
，過(guò)點(diǎn)A的切線方程為：y-y1=
-3x1
4y1
(x-x1)，
又
x12
4
+
y12
3
=1，則切線方程可整理為：
x1x
4
+
y1y
3
=1，
當(dāng)y＜0時(shí)，同理可得切線方程為：
x1x
4
+
y1y
3
=1，
綜上，過(guò)點(diǎn)A的切線方程為：
x1x
4
+
y1y
3
=1，
∵點(diǎn)P（1，2）在切線上，∴
x1
4
+
2y1
3
=1①，
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x2，y2），同理可得，
x2
4
+
2y2
3
=1②，
故由①②可得直線AB的方程為
x
4
+
2y
3
=1；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠PFA與∠PFB總是相等的，
F（-1，0），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），
則由（1）知，
mx1
4
+
ny1
3
=1，∴ny1=3(1-
mx1
4
)，
∵|AF|=2+
1
2
x1，
FA
•
FP
=（x1+1，y1）•（m+1，n）
=（m+1）（x1+1）+ny1=（m+1）（x1+1）+3（1-
mx1
4
）
=
(m+4)(x1+4)
4
，
∴cos∠PFA=
1
4
(m+4)(x1+4)
(2+
1
2
x1)•|
FP
|
=
m+4
2|
FP
|
，
同理，cos∠PFB=
m+4
2|
FP
|
，
∴cos∠PFA=cos∠PFB，
∴∠PFA=∠PFB．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)圓C1：x2+y2-10x-6y+32=0，動(dòng)圓C2：x2+y2-2ax-2（8-a）y+4a+12=0，
（Ⅰ）求證：圓C1、圓C2相交于兩個(gè)定點(diǎn)；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是橢圓
x24
+y2=1上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C1的一條切線，切點(diǎn)為T(mén)1，過(guò)點(diǎn)P作圓C2的一條切線，切點(diǎn)為T(mén)2，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P，使無(wú)窮多個(gè)圓C2，滿足PT1=PT2？如果存在，求出所有這樣的點(diǎn)P；如果不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每題10分，共計(jì)20分．
A、如圖，AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上．求證：PE是⊙O的切線．
B、設(shè)M是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到2倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到3倍的伸壓變換．
（1）求矩陣M的特征值及相應(yīng)的特征向量；
（2）求逆矩陣M-1以及橢圓
x2
4
+
y2
9
=1在M-1的作用下的新曲線的方程．
C、已知某圓的極坐標(biāo)方程為：ρ2-4
2
ρcos(θ-
π
4
)+6=0．
（Ⅰ）將極坐標(biāo)方程化為普通方程；并選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)寫(xiě)出它的參數(shù)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P（x，y）在該圓上，求x+y的最大值和最小值．
D、若關(guān)于x的不等式|x+2|+|x-1|≥a的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列說(shuō)法中
①設(shè)定點(diǎn)F1（0，-3），F(xiàn)2（0，3），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足條件|PF1|+|PF2|=a（a＞0），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓或線段；
②命題“每個(gè)指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)”是全稱(chēng)命題，而且是真命題．
③離心率為
1
2
，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
16
+
y2
12
=1；
④若3＜k＜4，則二次曲線
x2
4-k
+
y2
3-k
=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（±1，0）．
其中正確的為
②④
②④
（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

以下各個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中
①設(shè)定點(diǎn)F1（0，-3），F(xiàn)2（0，3），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足條件|PF1|+|PF2|=a（a＞0），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓或線段；
②過(guò)點(diǎn)（0，1）作直線，使它與拋物線y2=4x僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有3條；
③離心率為
1
2
，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
16
+
y2
12
=1；
④若3＜k＜4，則二次曲線
x2
4-k
+
y2
3-k
=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（±1，0）．
其中真命題的序號(hào)為
②④
②④
（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•重慶一模）已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為橢圓
x2
4
+
y2
3
=1d的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A、B為拋物線上的兩點(diǎn)，O是拋物線的頂點(diǎn)，OA⊥OB．
（I）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)M（4，0）；
（III）設(shè)弦AB的中點(diǎn)為P，求點(diǎn)P到直線x-y=0的最小值．

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