【題目】已知函數(shù)f(x)= x2+ax+1(a∈R). (Ⅰ)當(dāng)a= 時(shí),求不等式f(x)<3的解集;
(Ⅱ)當(dāng)0<x<2時(shí),不等式f(x)>0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)求關(guān)于x的不等式f(x)﹣ a2﹣1>0的解集.

【答案】解:(Ⅰ)當(dāng)a= 時(shí),不等式f(x)<3, 即為 x2+ x+1<3,即3x2+x﹣4<0,
解得﹣ <x<1,
則原不等式的解集為(﹣ ,1);
(Ⅱ)當(dāng)0<x<2時(shí),不等式f(x)>0恒成立,
即有 x2+ax+1>0在0<x<2恒成立,
即為﹣a< x+ 在0<x<2恒成立,
由y= x+ 的導(dǎo)數(shù)為y′= ,
可得函數(shù)y在(0, )遞減,( ,2)遞增,
則y= x+ 的最小值為2 = ,
即有﹣a< ,解得a>﹣ ;
(Ⅲ)f(x)﹣ a2﹣1>0,
即為3x2+2ax﹣a2>0,
即(x+a)(3x﹣a)>0,
當(dāng)a=0時(shí),即為x2>0,解集為{x|x≠0};
當(dāng)a>0時(shí), >﹣a,解集為{x|x> 或x<﹣a};
當(dāng)a<0時(shí), <﹣a,解集為{x|x< 或x>﹣a}.
【解析】(Ⅰ)化簡(jiǎn)為二次不等式的一般式,解不等式即可得到所求解集;(Ⅱ)由題意可得 x2+ax+1>0在0<x<2恒成立,即為﹣a< x+ 在0<x<2恒成立,求出y= x+ 的導(dǎo)數(shù),單調(diào)區(qū)間,可得最小值,即可得到a的范圍;(Ⅲ)f(x)﹣ a2﹣1>0,即為3x2+2ax﹣a2>0,即(x+a)(3x﹣a)>0,對(duì)a討論,a=0,a>0,a<0,由二次不等式的解法,即可得到所求解集.

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