Question

3．已知函數(shù)f（x）=xlnx+（2a-1）x-ax²-a+1，
（1）若$a=\frac{1}{2}$，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x∈[1，+∞）時(shí)恒有f（x）≤0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令g（x）=lnx-（x-1），求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，可得單調(diào)區(qū)間和最值，進(jìn)而得到f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=xlnx+（2a-1）x-ax²-a+1的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=lnx-2a（x-1），
當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）=lnx-（x-1），
令g（x）=lnx-（x-1），則${g^'}（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$．
x∈（0，1）時(shí)g′（x）＞0；x∈（1，+∞）時(shí)g′（x）＜0．
∴g（x）≤g（1）=0，即f′（x）≤0（只在x=1處取等號(hào)）
∴f（x）的單減區(qū)間是（0，+∞）；
（2）f′（x）=lnx-2a（x-1），
令f′（x）=0，則lnx=2a（x-1）且函數(shù)lnx在x=1處的切線(xiàn)為y=x-1，
由（1）知，$a=\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在[1，+∞）上單減且f（1）=0，∴f（x）≤0，合題意；
當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，數(shù)形結(jié)合知，f（x）在[1，+∞）上仍單減且f（1）=0，∴f（x）≤0，合題意；
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，數(shù)形結(jié)合知，?x₀＞1，使得f′（x₀）=0．
即x∈（1，x₀）時(shí)f′（x）＞0，f（x）在（1，x₀）上單增，f（x）＞f（1）=0，不合題意；
當(dāng)a≤0時(shí)，數(shù)形結(jié)合知，x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上單增，
f（x）＞f（1）=0，不合題意．
綜上，若x∈[1，+∞）時(shí)恒有f（x）≤0，
則a的取值范圍是$a≥\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線(xiàn)方程和單調(diào)性，同時(shí)考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用分類(lèi)討論的思想方法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．