Question

18．已知函數(shù)f（x）=e^x-1，g（x）=-x²+4x-3，若有f（a）=g（b），則b的取值范圍是（2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$），a的取值范圍是（-∞，ln2]．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的值域，從而得到g（b）的取值范圍，解一元二次不等式即可求出所求，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出g（x）的值域，從而得到f（a）的范圍，解得即可．

解答 解：∵f（x）=e^x-1，在R上遞增
∴f（a）＞-1則g（b）＞-1
∴-b²+4b-3＞-1即b²-4b+2＜0，解得2-$\sqrt{2}$＜b＜2+$\sqrt{2}$，
故b的取值范圍為（2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$），
∵g（x）=-x²+4x-3=-（x-2）²+1≤1，
∴g（b）≤1，
∴f（a）≤1，
即e^a-1≤1，即e^a≤2，
解得a≤ln2，
故a的取值范圍為（-∞，ln2]，
故答案為：（2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$），（-∞，ln2]．

點評 本題主要考查了函數(shù)的值域，以及函數(shù)的定義域和一元二次不等式的解法，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．