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如圖，正四棱錐P-ABCD的高為3，底面邊長為2，E是棱PC的中點，過AE作平面與棱PB、PD分別交于點M、N（M、N可以是棱的端點）．
（Ⅰ）當M是PB的中點時，求PN的長；
（Ⅱ）求直線AE與平面PBC所成角的正弦值．
考點：直線與平面所成的角
專題：綜合題,空間角
分析：（Ⅰ）當M是PB的中點時，證明ME∥AN，可得N、D兩點重合，即可求PN的長；
（Ⅱ）連接AC、BD交于點O，以O為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面PBC的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線AE與平面PBC所成角的正弦值．
解答： 解：（Ⅰ）當M是PB的中點時，ME∥BC．
因為BC∥平面PAD，所以ME∥平面PAD，
所以ME∥AN．
又ME∥AD，所以N、D兩點重合．
所以PN=PD=
32+(
2
)2
=
11
．…（4分）
（Ⅱ）連接AC、BD交于點O，以O為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(
2
，0，0)，C(0，
2
，0)，P(0，0，3)，A(0，-
2
，0)，E(0，
2
2
，
3
2
)
∴
PB
=(
2
，0，-3)，
PC
=(0，
2
，-3)，
AE
=(0，
3
2
2
，
3
2
)．…（6分）
設平面PBC的一個法向量為
m
=（x，y，z），則
2
x-3z=0
2
y-3z=0
，令z=
2
，得
m
=（3，3，
2
）．…（8分）
設直線AE與平面PBC所成的角為θ，則sin θ=|cos?m，
AE
＞|=
9
2
2
+
3
2
2
3
3
2
•2
5
=
2
30
15
．
所以直線AE與平面PBC所成角的正弦值為
2
30
15
．…（12分）
點評：本題考查了面面垂直的證明，考查線面角，考查向量知識的運用，正確求出平面的法向量是關鍵．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

過橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的左焦點作直線交橢圓于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，若x1+x2=-1，則|AB|的值為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）滿足條件f（0）=0和f（x+2）-f（x）=4x
（1）求f（x）；        
（2）求f（x）在區(qū)間[a，a+2]（a∈R）上的最小值g（a）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，
CD
=2
DB
，記
AB
=
a
，
AC
=
b
，則
AD
=（　�。�
A、
2
3
a
+
1
3
b
B、
2
3
a
-
1
3
b
C、
1
3
a
+
2
3
b
D、
1
3
a
-
2
3
b

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科目：高中數學 來源： 題型：

若二此函數的圖象開口向下且經過（0，1），對稱軸為x=2且在[0，5]上的最小值為-1，求二次函數的解析式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

下列命題中錯誤的是（　�。�
A、命題“若p則q”與命題“若￢q則￢p”互為逆否命題
B、命題p：?x∈[0，1]，ex≥1，命題q：?x∈R，x2+x+1＜0，p∨q為真
C、若p∨q為假命題，則p、q均為假命題
D、“若am2=bm2”，則a＜b的逆命題為真命題

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科目：高中數學 來源： 題型：

數列{an}是等比數列，已知an＞0，an=an+1+an+2，則數列的公比是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

一個口袋中裝有兩個白球和3個黑球，從中不放回拿出兩個球，并且每次只拿一個球．
（1）“第一次抽到黑球”的概率是
 
；
（2）“第一次抽到白球”的概率是
 
；
（3）“第二次抽到黑球”的概率是
 
；
（4）“第二次抽到白球”的概率是
 
；
（5）“兩次都抽到白球”的概率是
 
；
（6）“第一次抽到黑球，第二次抽到白球”的概率是
 
；
（7）“沒有抽到黑球”的概率是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF是過點C的⊙O的切線，AD⊥EF于點D．
（1）求證：∠BAC=∠CAD；
（2）若∠B=30°，AB=12，求弧AC的長．

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