Question

15．已知點(diǎn)P（1，1），圓C：x²+y²-4y=0，過點(diǎn)P的動直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求M的軌跡方程；
（2）是否存在點(diǎn)M滿足OP⊥OM，若存在請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出圓C圓心，半徑為，設(shè)M（x，y），則$\overrightarrow{CM}=（x，y-2），\overrightarrow{MP}=（1-x，1-y）$．利用$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{MP}=0$，求出M的軌跡方程．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)M（x，y），滿足OP⊥OM，求出P（1，1），M（x，y），通過$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}=x+y=0$，利用點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡為：${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{1}{2}$，將y=-x帶入圓的方程，化簡得：x²+x+1=0，方程無解，即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）圓C的方程可化為x²+（y-2）²=4，
所以圓心為C（0，2），半徑為2，（2分）
設(shè)M（x，y），則$\overrightarrow{CM}=（x，y-2），\overrightarrow{MP}=（1-x，1-y）$．
由題設(shè)知$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{MP}=0$，故x（1-x）+（y-2）（1-y）=0，
即${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{1}{2}$．（5分）
由于點(diǎn)P在圓C內(nèi)部，所以M的軌跡方程
是${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{1}{2}$．（6分）
（2）假設(shè)存在點(diǎn)M（x，y），滿足OP⊥OM則  $\overrightarrow{OP}=（1，1），\overrightarrow{OM}=（x，y）$，
若OP⊥OM，P（1，1），M（x，y），$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}=x+y=0$，則y=-x                  （8分）
又因?yàn)辄c(diǎn)M的運(yùn)動軌跡為：${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{1}{2}$，
所將y=-x帶入方程${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{1}{2}$          （10分）
化簡得：x²+x+1=0     （*）
方程  （*）無解，所以不存在滿足OP⊥OM的點(diǎn)M．（12分）

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程的求法，直線與圓的方程的綜合應(yīng)用，考查計算能力以及轉(zhuǎn)化思想．