Question

9．等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，點M，N分別是AB，BC中點，點P是△ABC（含邊界）內(nèi)任意一點，則$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{MP}$的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$]
• B． [-$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]
• C． [-$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$]
• D． [$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]

Answer 1

分析 選擇合適的原點建立坐標系，分別給出動點（含參數(shù)）和定點的坐標，結(jié)合向量內(nèi)積計算公式進行求解．

解答 解：以C為坐標原點，CA邊所在直線為x軸，
建立直角坐標系，
則A（1，0），B（0，1），
設P（x，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{x+y-1≤0}\end{array}\right.$
且$\overrightarrow{AN}$=（-1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{MP}$=（x-$\frac{1}{2}$，y-$\frac{1}{2}$），
則$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{MP}$=-x+$\frac{1}{2}$y+$\frac{1}{4}$，
令t=-x+$\frac{1}{2}$y+$\frac{1}{4}$，結(jié)合線性規(guī)劃知識，
則y=2x+2t-$\frac{1}{2}$
當直線t=-x+$\frac{1}{2}$y+$\frac{1}{4}$經(jīng)過點A（1，0）時，$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{MP}$有最小值，
將（1，0）代入得t=-$\frac{3}{4}$，
當直線t=-x+$\frac{1}{2}$y+$\frac{1}{4}$經(jīng)過點B時，$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{MP}$有最大值，
將（0，1）代入得t=$\frac{3}{4}$，
則$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{MP}$的取值范圍是[-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$]，
故選：A

點評 本題考查的知識點是平面向量的數(shù)量積運算及線性規(guī)劃，處理的關(guān)鍵是建立恰當?shù)淖鴺讼�，求出各點、向量的坐標，利用平面向量的數(shù)量積公式，將其轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，再利用“角點法”解決問題．