Question

已知圓的方程為，直線的方程為，點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為．
（1）若，試求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求證：經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）求弦長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

（1）或；（2）見(jiàn)解析；（3）.

（1）根據(jù)，求得；（2）求出圓的方程，此式是關(guān)于的恒等式，列條件；（3）表示出弦長(zhǎng)，求最值。
解：（1）設(shè)，由題可知，所以，解之得：故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為或．　                     ．．．．．．．．4分     
（2）設(shè)，的中點(diǎn)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823212404533367.png" style="vertical-align:middle;" />是圓的切線
所以經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓是以為圓心，以為半徑的圓，
故其方程為：              ．．．．．．．．6分
化簡(jiǎn)得：，此式是關(guān)于的恒等式，
故解得或                          
所以經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)或.                 ．．．．．．．．10分
（3）設(shè)，且與交于點(diǎn)，則
  當(dāng)時(shí)，最小值為．．．16分
（幾何方法酌情給分）