在平面直角坐標(biāo)系xoy中，F(xiàn)是拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，圓Q過(guò)O點(diǎn)與F點(diǎn)，且圓心Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為
3
2
．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過(guò)F作傾斜角為60°的直線L，交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求△OAB的面積；
（3）已知拋物線上一點(diǎn)M（4，4），過(guò)點(diǎn)M作拋物線的兩條弦MD和ME，且MD⊥ME，判斷：直線DE是否過(guò)定點(diǎn)？說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：綜合題,高考數(shù)學(xué)專題
分析：（1）由圓Q過(guò)O點(diǎn)與F點(diǎn)，可得圓心Q在線段OF的垂直平分線x=
p
4
上，結(jié)合準(zhǔn)線方程，求出p，即可求拋物線C的方程；
（2）過(guò)F傾斜角為60°的直線L：y=
3
（x-1），代入拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求△AOB的面積；
（3）設(shè)直線DE：x=my+t，代入拋物線方程，消去x，利用MD⊥ME，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可得出結(jié)論．
解答： 解：（1）∵F(
p
2
，0)，
∴圓心Q在線段OF的垂直平分線x=
p
4
上
又∵準(zhǔn)線方程為：x=-
p
2
，
∴
p
4
-(-
p
2
)=
3
2
，得p=2，
∴拋物線C：y2=4x；
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），過(guò)F傾斜角為60°的直線L：y=
3
（x-1）．
由
y2=4x
y=
3
(x-1)
得：y2-
4
3
3
y-4=0，
∴y1+y2=
4
3
3
  ，  y1y2=-4，
∴S△=
1
2
×|OF|×|y2-y1|=
1
2
×1×
(y1+y2)2-4y1y2
=
1
2
•
16
3
+16
=
4
3
3
；
（3）設(shè)直線DE：
x=my+t
y2=4x
，可得y2-4my-4t=0，則△=16m2+16t＞0（*）
設(shè)D（x1，y1），E（x2，y2），則y1+y2=4m，y1y2=-4t，
∵0=
MD
•
ME
=(x1-4，y1-4)•(x2-4，y2-4)=x1x2-4（x1+x2）+16+y1y2-4（y1+y2）+16
=
y12
4
•
y22
4
-4(
y12
4
+
y22
4
)+16+y1y2-4(y1+y2)+16=
(y1y2)2
16
-(y1+y2)2+3y1y2-4(y1+y2)+32
=t2-16m2-12t+32-16m，
即t2-12t+32=16m2+16m得：（t-6）2=4（2m+1）2，
∴t-6=±2（2m+1）即：t=4m+8或t=-4m+4
代入（*）式檢驗(yàn)均滿足△＞0，
∴直線DE的方程為：x=my+4m+8=m（y+4）+8或：x=m（y-4）+4，
∴直線過(guò)定點(diǎn)（8，-4）．（定點(diǎn)（4，4）不滿足題意，故舍去）
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的方程，考查準(zhǔn)線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=( 
1
4
 )x2-2x的值域?yàn)?div id="ovguwt7" class='quizPutTag' contenteditable='true'> 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知全集U={-2，-1，0，1，2，3，4，5，6}，集合M={大于-1且小于4的整數(shù)}，則∁UM=（　　）
A、∅
B、{-2，-1，5，6}
C、{0，1，2，3，4}
D、{-2，-1，4，5，6}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在區(qū)間[-2，3]上任取一個(gè)數(shù)a，則函數(shù)f（x）=x2-2ax+a+2有零點(diǎn)的概率為（　�。�
A、
1
3
B、
1
2
C、
3
5
D、
2
5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線，其右焦點(diǎn)為F（3，0），且F到其中一條漸近線的距離為
5
，則該雙曲線的方程為（　�。�
A、
x2
4
-
y2
5
=1
B、
x2
4
-
y2
5
=1
C、
x2
2
-
y2
5
=1
D、
x2
2
-
y2
5
=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+lnx（a∈R）
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）在區(qū)間[e，e2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）如果函數(shù)g（x），f1（x），f2（x）在公共定義域D上，滿足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就稱g（x）為f1（x），f2（x）的“伴隨函數(shù)”．已知函數(shù)f1(x)=(a-
1
2
)x2+2ax+(1-a2)lnx，f2(x)=
1
2
x2+2ax．若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）是f1（x），f2（x）的“伴隨函數(shù)”，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（
3
，
1
2
），離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）過(guò)點(diǎn)Q（0，
1
2
）的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，與直線y=2交于點(diǎn)M（直線AB不經(jīng)過(guò)P點(diǎn)），記PA、PB、PM的斜率分別為k1、k2、k3，問(wèn)：是否存在常數(shù)λ，使得
1
k1
+
1
k2
=
λ
k3
？若存在，求出λ的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0）的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2作x軸的垂線交雙曲線的上半部分于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F1作直線PF1的垂線交直線l：x=-
a2
c
于點(diǎn)Q．
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，6），求雙曲線C的方程及點(diǎn)P處的切線方程；
（2）證明：直線PQ與雙曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)；
（3）若過(guò)l：x=-
a2
c
上任一點(diǎn)M作雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0）的兩條切線，切點(diǎn)分別為T1，T2，問(wèn)：直線T1T2是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知過(guò)拋物線x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，斜率為
3
4
的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）兩點(diǎn)，且|AB|=12.5．
（1）求該拋物線的方程；
（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上的一點(diǎn)，且
AC
與
OB
共線，求出C點(diǎn)坐標(biāo)．

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