Question

11．若函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，且f（ax+1）≤f（x-2）對(duì)任意x∈[$\frac{1}{2}$，2]都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-5]．

Answer 1

分析 由題意可得當(dāng)$\frac{1}{2}$≤x≤2時(shí)，f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，可得a小于或等于1-$\frac{3}{x}$的最小值．利用單調(diào)性求得1-$\frac{3}{x}$的最小值，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，且f（ax+1）≤f（x-2）對(duì)任意x∈[$\frac{1}{2}$，2]都成立，
則當(dāng)$\frac{1}{2}$≤x≤2時(shí)，f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，故有ax+1≤x-2恒成立，即a≤$\frac{x-3}{x}$=1-$\frac{3}{x}$恒成立，
故a小于或等于1-$\frac{3}{x}$的最小值．
由于y=1-$\frac{3}{x}$是區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上的增函數(shù)，故當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，1-$\frac{3}{x}$取得最小值-5，∴a≤-5，即實(shí)數(shù)a≤-5，
故答案為：（-∞，-5]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．