Question

5．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2，AB=4；
（1）求證：AD₁⊥平面A₁B₁D；
（2）求BD與平面ACC₁A₁所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AD₁⊥A₁D，AD₁⊥A₁B₁，由此能證明AD₁⊥平面A₁B₁D．
（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出BD與平面ACC₁A₁所成角的大�。�

解答 證明：（1）∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2，AB=4，
∴四邊形ADD₁A₁是正方形，∴AD₁⊥A₁D，
∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁⊥平面ADD₁A₁，AD₁?平面ADD₁A₁，
∴AD₁⊥A₁B₁，
∵A₁B₁∩A₁D=A₁，∴AD₁⊥平面A₁B₁D．
（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（2，0，0，），B（2，4，0），C（0，4，0），D（0，0，0），A₁（2，0，2），
$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，2），$\overrightarrow{AC}$=（-2，4，0），$\overrightarrow{BD}$=（-2，-4，0），
設(shè)平面ACC₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-2x+4y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，0），
設(shè)BD與平面ACC₁A₁所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BD}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{8}{\sqrt{5}•\sqrt{20}}$=$\frac{4}{5}$．
∴θ=arcsin$\frac{4}{5}$，
∴BD與平面ACC₁A₁所成角為arcsin$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的求法，涉及到空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．