Question

1．已知實(shí)數(shù)x，y滿足x²+y²+2x-2$\sqrt{3}$y=0，則$\frac{y+\sqrt{3}}{x-1}$的最大值是$-\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，結(jié)合$\frac{y+\sqrt{3}}{x-1}$的幾何意義，即定點(diǎn)M（1，-$\sqrt{3}$）與圓$（x+1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=4$上的動(dòng)點(diǎn)連線的斜率求得答案．

解答 解：由x²+y²+2x-2$\sqrt{3}$y=0，得$（x+1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=4$，
作出圖象如圖，

$\frac{y+\sqrt{3}}{x-1}$的幾何意義為定點(diǎn)M（1，-$\sqrt{3}$）與圓$（x+1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=4$上的動(dòng)點(diǎn)連線的斜率，
當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為x=1；
當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)M的圓的切線方程為y+$\sqrt{3}=k（x-1）$，即kx-y-k-$\sqrt{3}=0$．
由$\frac{|-k-\sqrt{3}-k-\sqrt{3}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，解得：k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴$\frac{y+\sqrt{3}}{x-1}$的最大值是$-\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$-\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了切線方程的求法，是中檔題．