Question

4．點(diǎn)P是棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面A₁B₁C₁D₁上一點(diǎn)，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{P{C_1}}$的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，0]．

Answer 1

分析 建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y，z），則由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z=1，計(jì)算$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{{PC}_{1}}$=x²-x，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的值域即可．

解答 解：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以DD₁所在的直線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；
則點(diǎn)A（1，0，0），C₁ （0，1，1），
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y，z），由題意可得 0≤x≤1，0≤y≤1，z=1；
∴$\overrightarrow{PA}$=（1-x，-y，-1），$\overrightarrow{{PC}_{1}}$=（-x，1-y，0），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{{PC}_{1}}$=-x（1-x）-y（1-y）+0=x²-x+y²-y=${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+${（y-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{2}$，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)x=y=$\frac{1}{2}$時(shí)，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{{PC}_{1}}$取得最小值為-$\frac{1}{2}$；
當(dāng)x=0或1，且y=0或1時(shí)，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{{PC}_{1}}$取得最大值為0，
則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{{PC}_{1}}$的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，0]．
故答案為：[-$\frac{1}{2}$，0]．

點(diǎn)評 本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用與向量的數(shù)量積運(yùn)算問題，是綜合性題目．