設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，離心率．過該橢圓上任一點(diǎn)作軸，垂足為，點(diǎn)在的延長線上，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求動點(diǎn)的軌跡的方程；
（3）設(shè)直線（點(diǎn)不同于）與直線交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，試判斷直線與曲線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（1）;（2）;（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的；（2）用設(shè)點(diǎn)、建立兩個動點(diǎn)之間坐標(biāo)的關(guān)系和代入已知曲線方程的方法求出動點(diǎn)軌跡方程；（3）先利用三點(diǎn)共線建立與的坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)為線段的中點(diǎn)求出的坐標(biāo)表達(dá)式，進(jìn)一步求出直線的方程，最后根據(jù)曲線圓心到直線的距離與半徑的大小情況判斷其位置關(guān)系.
試題解析：（1）由題意可得，，∴，         2分
∴，所以橢圓的方程為．       4分
（2）設(shè)，，由題意得，即，    6分
又，代入得，即．
即動點(diǎn)的軌跡的方程為．           8分
（3）設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵三點(diǎn)共線，∴，
而，，則，∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，      10分
∴直線的斜率為，
而，∴，∴，       12分
∴直線的方程為，化簡得，
∴圓心到直線的距離，
所以直線與圓相切．          14分
考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，2、代入法求動點(diǎn)軌跡方程，3、直線與圓位置關(guān)系的判定問題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點(diǎn)，是拋物線上相異兩點(diǎn)，且滿足．
（Ⅰ）若的中垂線經(jīng)過點(diǎn)，求直線的方程；
（Ⅱ）若的中垂線交軸于點(diǎn)，求的面積的最大值及此時直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C長軸的兩個頂點(diǎn)為A（－2，0），B（2，0），且其離心率為.

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若N是直線x=2上不同于點(diǎn)B的任意一點(diǎn)，直線AN與橢圓C交于點(diǎn)Q，設(shè)直線QB與以NB為直徑的圓的一個交點(diǎn)為M（異于點(diǎn)B），求證：直線NM經(jīng)過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標(biāo)系取相等的長度單位．已知直線的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)，0<a<)，曲線C的極坐標(biāo)方程為．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)a變化時，求|AB|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點(diǎn)為圓心作圓：，設(shè)圓與橢圓交于點(diǎn)與點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；
（2）求的最小值，并求此時圓的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于,的任意一點(diǎn)，且直線分別與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，
求證：為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知動圓C經(jīng)過點(diǎn)，且在x軸上截得弦長為2，記該圓圓心的軌跡為E.
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)的直線m交曲線E于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)分別作曲線E的切線，兩切線交于點(diǎn)C，當(dāng)△ABC的面積為時，求直線m的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，曲線與曲線相交于、、、四個點(diǎn).
⑴ 求的取值范圍；
⑵ 求四邊形的面積的最大值及此時對角線與的交點(diǎn)坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-1，0)，F(xiàn)2(1,0)，過F1作與x軸不重合的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn).
(I)若ΔABF2為正三角形，求橢圓的離心率；
(II)若橢圓的離心率滿足,為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證:.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,已知曲線,曲線,P是平面上一點(diǎn),若存在過點(diǎn)P的直線與都有公共點(diǎn),則稱P為“C1—C2型點(diǎn)”.

(1)在正確證明的左焦點(diǎn)是“C1—C2型點(diǎn)”時,要使用一條過該焦點(diǎn)的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證);
(2)設(shè)直線與有公共點(diǎn),求證,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1—C2型點(diǎn)”;
(3)求證:圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1—C2型點(diǎn)”.

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同步練習(xí)冊答案