如圖，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點為圓心作圓：，設(shè)圓與橢圓交于點與點．

（1）求橢圓的方程；
（2）求的最小值，并求此時圓的方程；
（3）設(shè)點是橢圓上異于,的任意一點，且直線分別與軸交于點，為坐標原點，
求證：為定值．

（1）；（2），；（3）證明過程詳見解析.

解析試題分析：（1）先通過離心率求出，再通過，然后寫出橢圓方程；（2）先設(shè)出點的坐標，由于點在橢圓上，所以，找到向量坐標，根據(jù)點乘列出表達式，配方法找到表達式的最小值，得到點坐標，點在圓上，代入得到圓的半徑，就可以得到圓的方程；（3）設(shè)出點的坐標，列出直線的方程，因為直線與軸有交點，所以令，得到，所以，又因為點在橢圓上，得到方程，代入中，得到，所以.
試題解析：（1）依題意，得，，∴；
故橢圓的方程為 ．        3分
（2）方法一：點與點關(guān)于軸對稱，設(shè)，， 不妨設(shè)．
由于點在橢圓上，所以．    （*）         4分
由已知，則，，
所以 
．   6分
由于，故當時，取得最小值為．
由（*）式，，故，又點在圓上，代入圓的方程得到．
故圓的方程為：．             8分
方法二：點與點關(guān)于軸對稱，故設(shè)，
不妨設(shè)，由已知，則
 

．  6分
故當時，取得最小值為，此時，
又點在圓上，代入圓的方程得到．
故圓的方程為：．      8分
(3) 方法一：設(shè)，則直線的方程為：

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：與正半軸、正半軸的交點分別為，動點是橢圓上任一點，求面積的最大值。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）若在處取得極值，求的值；
（2）求的單調(diào)區(qū)間；
（3）若且，函數(shù)，若對于，總存在使得，求實數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：（）上任意一點到兩焦點距離之和為，離心率為，左、右焦點分別為，，點是右準線上任意一點，過作直 線的垂線交橢圓于點．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；
（3）點的縱坐標為3，過作動直線與橢圓交于兩個不同點，在線段上取點，滿足，試證明點恒在一定直線上．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C:  (a>b>0)的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓上.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若斜率為k的直線過點M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點.試探討k為何值時,三角形OAB為直角三角形.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的左右頂點分別為，離心率．過該橢圓上任一點作軸，垂足為，點在的延長線上，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求動點的軌跡的方程；
（3）設(shè)直線（點不同于）與直線交于點，為線段的中點，試判斷直線與曲線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知圓C：的半徑等于橢圓E：（a＞b＞0）的短半軸長，橢圓E的右焦點F在圓C內(nèi)，且到直線l：y＝x－的距離為－，點M是直線l與圓C的公共點，設(shè)直線l交橢圓E于不同的兩點A（x1，y1），B（x2，y2）．

（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求證：｜AF｜－｜BF｜＝｜BM｜－｜AM｜．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

動點與定點的距離和它到直線的距離之比是常數(shù),記點的軌跡為曲線.
（I）求曲線的方程；
（II）設(shè)直線與曲線交于兩點，為坐標原點，求面積的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知、是橢圓的左、右焦點，且離心率，點為橢圓上的一個動點，的內(nèi)切圓面積的最大值為.
(1) 求橢圓的方程；
(2) 若是橢圓上不重合的四個點，滿足向量與共線，與共
線，且，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案