Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²，g（x）=alnx．
（1）若曲線y=f（x）-g（x）在x=1處的切線的方程為6x-2y-5=0，求實數(shù)a的值；
（2）設(shè)h（x）=f（x）+g（x），若對任意兩個不等的正數(shù)x₁，x₂，都有$\frac{h（{x}_{1}）-h（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為6x-2y-5=0，得k=1-a=3，即可求實數(shù)a的值；
（2）將條件對任意兩個不等的正數(shù)x₁，x₂，都有$\frac{h（{x}_{1}）-h（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞2恒成立轉(zhuǎn)化為$\frac{[h（{x}_{1}）-2{x}_{1}]-[h（{x}_{2}）-2{x}_{2}]}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，構(gòu)造函數(shù)m（x）=h（x）-2x，則m（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，即m'（x）≥0恒成立，再將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，即可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）y=f（x）-g（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx的導(dǎo)數(shù)為y'=x-$\frac{a}{x}$，
曲線y=f（x）-g（x）在x=1處的切線斜率為k=1-a，
由切線的方程為6x-2y-5=0，可得1-a=3，
解得a=-2；
（2）h（x）=f（x）+g（x）=$\frac{1}{2}$x²+alnx，
對任意兩個不等的正數(shù)x₁，x₂，都有$\frac{h（{x}_{1}）-h（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞2恒成立，即$\frac{[h（{x}_{1}）-2{x}_{1}]-[h（{x}_{2}）-2{x}_{2}]}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
令m（x）=h（x）-2x，則m（x）在（0，+∞）遞增，
故m′（x）=h′（x）-2=x+$\frac{a}{x}$-2≥0恒成立，即a≥x（2-x）恒成立，
因為x（2-x）=-（x-1）²+1≤1，所以a≥1，
即a的取值范圍是[1，+∞）．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，研究函數(shù)的單調(diào)性與最值以及不等式恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法等知識點，其中構(gòu)造新函數(shù)確定單調(diào)性是解決第2問的關(guān)鍵．