Question

3．過拋物線C：y²=4x的焦點F作直線l將拋物線C于A、B，若|AF|=4|BF|，則直線l的斜率是$±\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由拋物線方程求出拋物線的焦點坐標，設(shè)出直線l的方程，和拋物線方程聯(lián)立，化為關(guān)于y的一元二次方程后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到A，B兩點縱坐標的和與積，結(jié)合|AF|=3|BF|，轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線斜率的方程求解．

解答 解：∵拋物線C方程為y²=4x，可得它的焦點為F（1，0），
∴設(shè)直線l方程為y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x得$\frac{k}{4}$y2-y-k=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4①．
∵|AF|=4|BF|，
∴y₁+4y₂=0，可得y₁=-4y₂，代入①得-3y₂=$\frac{4}{k}$，且-4y₂²=-4，
解得y₂=±1，解，得k=±$\frac{4}{3}$．
故答案為：$±\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)，著重考查了舍而不求的解題思想方法，是中檔題．