Question

如圖，平面α上定點F到定直線l的距離FA=2，曲線C是平面α上到定點F和到定直線l的距離相等的動點P的軌跡． 設(shè)FB⊥α，且FB=2．
（1）若曲線C上存在點P，使得PB⊥AB，試求直線PB與平面α所成角θ的大��；
（2）對（1）中P，求點F到平面ABP的距離h．

Answer 1

【答案】分析：（1）解法一：以線段FA的中點為原點O，以線段FA所在的直線為x軸，建立空間直角坐標系O-xyz，由此易求出曲線C的方程，設(shè)出P點坐標后，根據(jù)PB⊥AB，構(gòu)造方程，解方程求出P點坐標，即可得到答案．
解法二：以點A為原點O，以線段FA所在的直線為x軸，建立空間直角坐標系O-xyz．設(shè)出P點的坐標，根據(jù)曲線C是平面α上到定點F和到定直線l的距離相等的動點P的軌跡，構(gòu)造方程，解方程求出P點坐標，即可得到答案．
（2）解法一：由（1）可得，△ABP的面積及△AFP的面積，然后使用等體積法，即可求出點F到平面ABP的距離h．
解法二：計算出平面ABP的一個法向量的坐標，代入點到平面距離公式，，即可求出點F到平面ABP的距離h．
解答：解：（1）（解法一）如圖，以線段FA的中點為原點O，以線段FA所在的直線為x軸，建立空間直角坐標系O-xyz．
由題意，曲線C是平面α上以原點O為頂點，由于在xOy平面內(nèi)，CF（2，0，0）
是以O(shè)為頂點，以x軸為對稱軸的拋物線，其方程為y²=4x，
因此，可設(shè)A（-1，0，0），B（1，0，2），所以，，．
由PB⊥AB，得，
所以，直線PB與平面α所成角的大小為（或）．
（解法二）如圖，以點A為原點O，以線段FA所在的直線為x軸，建立空間直角坐標系O-xyz．
所以，A（0，0，0），B（2，0，2），F(xiàn)（2，0，0），并設(shè)P（x，y，0），
由題意，

所以，直線PB與平面α所成角的大小為（或）．
（2）（解法一）由（1），得△ABP的面積為，△AFP的面積為，
所以，，
解得，．
（解法二），，設(shè)向量
則
所以，平面ABP的一個法向量，∴．
點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，點到平面的距離計算，其中（1）的關(guān)鍵是求出滿足條件的P點坐標，（2）的中解法一關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化思想，根據(jù)棱錐翻轉(zhuǎn)過程中體積不變進行求解，解法二的關(guān)鍵是點到平面距離公式，．