Question

如圖，平面上定點(diǎn)F到定直線l的距離|FM|=2，P為該平面上的動(dòng)點(diǎn)，過P作直線l的垂線，垂足為Q，且(

PF

+

PQ

)•(

PF

-

PQ

)=0．
（1）試建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)N，已知

NA

=λ1

AF

，

NB

=λ2

BF

，求證：λ1+λ2為定值．

Answer 1

分析：（1）方法一：先建坐標(biāo)系，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)直接利用向量的數(shù)量積計(jì)算即可求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
方法二：先由(

PF

+

PQ

)•(

PF

-

PQ

)=0得，|

PQ

|=|

PF

|，知道動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線，再建坐標(biāo)系求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）先由已知求得λ₁•λ₂＜0，以及

| NA |

| NB |

=-

λ1

λ2

| AF |

| BF |

，再過A、B兩點(diǎn)分別作準(zhǔn)線l的垂線，利用相似比得

| NA |

| NB |

=

| AA1 |

| BB1 |

=

| AF |

| BF |

，二者相結(jié)合即可得λ₁+λ₂為定值．

解答：解：（1）方法一：如圖，以線段FM的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，以線段FM所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系xOy．則，F(xiàn)（0，1）．
設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，-1）

PF

=(-x，1-y)，

PQ

=(0，-1-y)，
由(

PF

+

PQ

)•(

PF

-

PQ

)=0，得x²=4y．
方法二：由(

PF

+

PQ

)•(

PF

-

PQ

)=0得，|

PQ

|=|

PF

|．
所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C是拋物線，以線段FM的中點(diǎn)
為原點(diǎn)O，以線段FM所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系xOy，可得軌跡C的方程為：x²=4y．
（2）由已知

NA

=λ1

AF

，

NB

=λ2

BF

，得λ₁•λ₂＜0．
于是，

| NA |

| NB |

=-

λ1

λ2

| AF |

| BF |

，①
過A、B兩點(diǎn)分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A₁、B₁，
則有

| NA |

| NB |

=

| AA1 |

| BB1 |

=

| AF |

| BF |

，②
由①、②得λ₁+λ₂=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法以及直線與拋物線的綜合問題和向量的數(shù)量積．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，由于集中交匯了直線，圓錐曲線兩章的知識(shí)內(nèi)容，綜合性強(qiáng)，能力要求高，還涉及到函數(shù)，方程，不等式，平面幾何等許多知識(shí)，可以有效的考查函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想和轉(zhuǎn)化化歸的思想，因此，這一部分內(nèi)容也成了高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)．