(本題滿分18分)第(1)小題滿分4分,第(2)小題滿分8分,第(3)小題滿分6分。
定義:由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”。如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的,則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”,并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比。已知橢圓。
若橢圓,判斷與是否相似?如果相似,求出與的相似比;如果不相似,請說明理由;
寫出與橢圓相似且短半軸長為的橢圓的方程;若在橢圓上存在兩點、關于直線對稱,求實數的取值范圍?
如圖:直線與兩個“相似橢圓”和分別交于點和點,證明:
解:(1)橢圓與相似。-------------------2分
因為橢圓的特征三角形是腰長為4,底邊長為的等腰三角形,而橢圓的特征三角形是腰長為2,底邊長為的等腰三角形,因此兩個等腰三角形相似,且相似比為-------------------4分
(2)橢圓的方程為:-------------------6分
設,點,中點為,
則,所以-------------------8分
則 -------------------9分
因為中點在直線上,所以有,-------------------10分
即直線的方程為:,
由題意可知,直線與橢圓有兩個不同的交點,
即方程有兩個不同的實數解,
所以,即-------------------12分
(3)證明:
①直線與軸垂直時,易得線段AB與CD的中點重合,所以;-------------------14分
②直線不與軸垂直時,設直線的方程為:,,
線段AB的中點,
-------------------15分
線段AB的中點為-------------------16分
同理可得線段CD的中點為,-------------------17分
即線段AB與CD的中點重合,所以-------------------18分
科目:高中數學 來源: 題型:
(本題滿分18分,第(1)小題4分,第(2)小題6分,第(3)小題8分)
在平行四邊形中,已知過點的直線與線段分別相交于點。若。
(1)求證:與的關系為;
(2)設,定義函數,點列在函數的圖像上,且數列是以首項為1,公比為的等比數列,為原點,令,是否存在點,使得?若存在,請求出點坐標;若不存在,請說明理由。
(3)設函數為上偶函數,當時,又函數圖象關于直線對稱, 當方程在上有兩個不同的實數解時,求實數的取值范圍。
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科目:高中數學 來源:2012屆上海市崇明中學高三第一學期期中考試試題數學 題型:解答題
(本題滿分18分,第(1)小題4分,第(2)小題6分,第(3)小題8分)
對于數列,如果存在一個正整數,使得對任意的()都有成立,那么就把這樣一類數列稱作周期為的周期數列,的最小值稱作數列的最小正周期,以下簡稱周期。例如當時是周期為的周期數列,當時是周期為的周期數列。
(1)設數列滿足(),(不同時為0),且數列是周期為的周期數列,求常數的值;
(2)設數列的前項和為,且.
①若,試判斷數列是否為周期數列,并說明理由;
②若,試判斷數列是否為周期數列,并說明理由;
(3)設數列滿足(),,,,數列的前項和為,試問是否存在,使對任意的都有成立,若存在,求出的取值范圍;不存在, 說明理由;
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科目:高中數學 來源:2011-2012學年上海市高三第一學期期中考試試題數學 題型:解答題
(本題滿分18分,第(1)小題4分,第(2)小題6分,第(3)小題8分)
對于數列,如果存在一個正整數,使得對任意的()都有成立,那么就把這樣一類數列稱作周期為的周期數列,的最小值稱作數列的最小正周期,以下簡稱周期。例如當時是周期為的周期數列,當時是周期為的周期數列。
(1)設數列滿足(),(不同時為0),且數列是周期為的周期數列,求常數的值;
(2)設數列的前項和為,且.
①若,試判斷數列是否為周期數列,并說明理由;
②若,試判斷數列是否為周期數列,并說明理由;
(3)設數列滿足(),,,,數列 的前項和為,試問是否存在,使對任意的都有成立,若存在,求出的取值范圍;不存在, 說明理由;
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科目:高中數學 來源:2011-2012學年上海市十三校高三上學期第一次聯考試題文科數學 題型:解答題
(本題滿分18分,第1小題滿分5分,第2小題滿分5分,第3小題滿分8分)
已知函數,其中.
(1)當時,設,,求的解析式及定義域;
(2)當,時,求的最小值;
(3)設,當時,對任意恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數學 來源:2010年上海市徐匯區(qū)高三第二次模擬考試數學卷(文) 題型:解答題
(本題滿分18分;第(1)小題5分,第(2)小題5分,第(3)小題8分)
設數列是等差數列,且公差為,若數列中任意(不同)兩項之和仍是該數列中的一項,則稱該數列是“封閉數列”.
(1)若,求證:該數列是“封閉數列”;
(2)試判斷數列是否是“封閉數列”,為什么?
(3)設是數列的前項和,若公差,試問:是否存在這樣的“封閉數列”,使;若存在,求的通項公式,若不存在,說明理由.
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