【題目】交大設計學院植物園準備用一塊邊長為4百米的等邊ΔABC田地(如圖)建立芳香植物生長區(qū)、植物精油提煉處與植物精油體驗點.田地內擬建筆直小路MN、AP,其中M、N分別為AC、BC的中點,點P在CN上.規(guī)劃在小路MN和AP的交點O(O與M、N不重合)處設立植物精油體驗點,圖中陰影部分為植物精油提煉處,空白部分為芳香植物生長區(qū),A、N為出入口(小路寬度不計).為節(jié)約資金,小路MO段與OP段建便道,供芳香植物培育之用,費用忽略不計,為車輛安全出入,小路AO段的建造費用為每百米4萬元,小路ON段的建造費用為每百米3萬元.
(1)若擬建的小路AO段長為百米,求小路ON段的建造費用;
(2)設∠BAP=,求的值,使得小路AO段與ON段的建造總費用最小,并求岀最小建造總費用(精確到元).
【答案】(1) 小路ON段的建造費用為3萬元.
(2) 當時,小路AO段與ON段的建造總費用最小,最小費用約為元.
【解析】
(1) 在△ 中,,,∠,利用余弦定理可求解長度,結合即可求解;
(2)在△ 中,,∠,,,利用正弦定理可求,結合,可建立關于的函數(shù),利用導數(shù)即可判斷最值.
(1)由為中點,得 ,在△ 中,∠,由余弦定理可得,,解得或-3(舍去),又,所以,故小路ON段的建造費用為3萬元.
(2)在△ 中,∠,,由正弦定理可得,,即, ,故小路AO段與ON段的建造總費用為
,
則,令,得,,令,得,,故當時,小路AO段與ON段的建造總費用最小,由,得,故最小費用為元.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,以橢圓的長軸和短軸為對角線的四邊形的面積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓相交于,兩點,設為橢圓上一動點,且滿足(為坐標原點).當時,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,四邊形是菱形, ,平面平面
在棱上運動.
(1)當在何處時, 平面;
(2)已知為的中點, 與交于點,當平面時,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知F為橢圓C:的左焦點,過F作兩條互相垂直的直線,,直線與C交于A,B兩點,直線與C交于D,E兩點,則四邊形ADBE的面積最小值為( )
A.4B.C.D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知圓:,點是圓內一個定點,點是圓上任意一點,線段的垂直平分線和半徑相交于點.當點在圓上運動時,點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)設過點的直線與曲線相交于兩點(點在兩點之間).是否存在直線使得?若存在,求直線的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列判斷正確的是( )
A.“”是“”的充分不必要條件
B.函數(shù)的最小值為2
C.當時,命題“若,則”為真命題
D.命題“,”的否定是“,”
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