Question

1．已知△ABC中，A+B=3C，且△ABC的外接圓面積為2π，則△ABC面積的最大值為$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 利用三角形內(nèi)角和公式求得C的值，利用正弦定理求得c的值，再利用余弦定理、基本不等式求得ab的最大值，可得△ABC面積的最大值．

解答 解：△ABC中，∵A+B=3C，A+B+C=π，∴C=$\frac{π}{4}$．
設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，∵△ABC的外接圓面積為π•r²=2π，則r=$\sqrt{2}$．
由正弦定理可得$\frac{c}{sinC}$=2r，即$\frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{2}$，∴c=2．
由余弦定理可得c²=4=a²+b²-2ab•cosC=a²+b²-$\sqrt{2}$ab≥（2-$\sqrt{2}$）ab，∴ab≤$\frac{4}{2-\sqrt{2}}$=4+2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號．
△ABC面積S=$\frac{1}{2}$ab•sinC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ab≤$\frac{\sqrt{2}}{4}•（4+2\sqrt{2}）$=$\sqrt{2}$+1，故△ABC面積的最大值為$\sqrt{2}$+1，
故答案為：$\sqrt{2}$+1．

點(diǎn)評 本題主要考查三角形內(nèi)角和公式，正弦定理、余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．