Question

9．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），其f（x）=$\frac{2x}{x+1}$．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的一個通項公式．

Answer 1

分析 （1）由a₁=a，a₂=f（a₁）=$\frac{2a}{a+1}$，a₃=f（a₂）=$\frac{4a}{3a+1}$，${a_4}=f（{a_3}）=\frac{8a}{7a+1}$；
（2）由（1）可知，根據(jù)前n項猜想數(shù)列{a_n}的一個通項公式：${a_n}=\frac{{{2^{n-1}}a}}{{（{{2^{n-1}}-1}）a+1}}（{n∈{N^*}}）$．

解答 解：（1）a₁=a，a₂=f（a₁）=$\frac{2a}{a+1}$，
a₃=f（a₂）=$\frac{4a}{3a+1}$，
${a_4}=f（{a_3}）=\frac{8a}{7a+1}$；…6分
（2）根據(jù)（1）猜想{a_n}的一個通項公式：${a_n}=\frac{{{2^{n-1}}a}}{{（{{2^{n-1}}-1}）a+1}}（{n∈{N^*}}）$．

點評 本題考查數(shù)列與函數(shù)的應用，利用函數(shù)的解析求函數(shù)的通項公式，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．