如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，點E、F分別在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D.

（1）求證：A1C⊥平面AEF；

（2）若規(guī)定兩個平面所成的角是這兩個平面所組成的二面角中的銳角（或直角）.則在空間中有定理：若兩條直線分別垂直于兩個平面，則這兩條直線所成的角與這兩個平面所成的角相等.

試根據(jù)上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5時，求平面AEF與平面D1B1BD所成角的大小.（用反三角函數(shù)值表示）

 

答案：
解析：

（1）證明：因為CB⊥平面A1B，所以A1C在平面A1B上的射影為A1B.

由A1B⊥AE，AE平面A1B，得A1C⊥AE.

同理可證A1C⊥AF.

因為A1C⊥AF，A1C⊥AE，

所以A1C⊥平面AEF.

（2）解：過A作BD的垂線交CD于G，因為D1D⊥AG，所以AG⊥平面D1B1BD.

設AG與A1C所成的角為α，則α即為平面AEF與平面D1B1BD所成的角.

由已知，計算得DG=.

如圖建立直角坐標系，則得點A（0，0，0），G（，3，0），A1（0，0，5），

C（4，3，0）.

AG={，3，0}，A1C={4，3，－5}.

因為AG與A1C所成的角為α，

所以cosα=.

由定理知，平面AEF與平面D1B1BD所成角的大小為arccos.

注：沒有學習向量知識的同學可用以下的方法求二面角的平面角.

解法一：設AG與BD交于M，則AM⊥面BB1D1D，再作AN⊥EF交EF于N，連接MN，則∠ANM即為面AEF與D1B1BD所成的角α，用平面幾何的知識可求出AM、AN的長度.

解法二：用面積射影定理cosα=.

 


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖在長方體ABCD-A1B1C1D1中，三棱錐A1-ABC的面是直角三角形的個數(shù)為：
4
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，定義八個頂點都在某圓柱的底面圓周上的長方體叫做圓柱的內(nèi)接長方體，圓柱也叫長方體的外接圓柱．設長方體ABCD-A1B1C1D1的長、寬、高分別為a，b，c（其中a＞b＞c），那么該長方體的外接圓柱側面積的最大值等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若一個n面體中有m個面是直角三角形，則稱這個n面體的直度為.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，四面體A1-ABC的直度為(    )

 

A.         B.               C.                 D.1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若一個n面體中有m個面是直角三角形，則稱這個n面體的直度為.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，四面體A1-ABC的直度為(    )

 

A．            B．              C．              D．1

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011年四川省成都市高二3月月考數(shù)學試卷 題型：填空題

（文科做）（本題滿分14分）如圖，在長方體

ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點E在棱AB上移動.

（1）證明：D1E⊥A1D;

（2）當E為AB的中點時，求點E到面ACD1的距離；

（3）AE等于何值時，二面角D1—EC－D的大小為.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

 

 

（理科做）(本題滿分14分)

     如圖，在直三棱柱ABC – A1B1C1中，∠ACB = 90°，CB = 1，

CA =，AA1 =，M為側棱CC1上一點，AM⊥BA1．

   （Ⅰ）求證：AM⊥平面A1BC；

   （Ⅱ）求二面角B – AM – C的大��；

   （Ⅲ）求點C到平面ABM的距離．

 

 

 

 

 

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