Question

設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx．
（I）設(shè)F（x）=

1

2

mx ²+f′（x）（m∈R），討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）過(guò)兩點(diǎn)A（x₁，f′（x₁）），B（x₂f′（x₂））（x₁＜x₂）的直線的斜率為k，求證：0＜k＜

1

x1

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求f（x）的導(dǎo)數(shù)，然后求導(dǎo)數(shù)Fˊ（x），討論a在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式Fˊ（x）＞0和Fˊ（x）＜0即可求得；
（Ⅱ）運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式，先證明k＞0，運(yùn)用分析法證明要證k＜

1

x1

，即證x₁＜

x2-x1

lnx2-lnx1

，等價(jià)于證1＜

x2 x1 -1

ln x2 x1

，
令t=

x2

x1

，則只要證1＜

t-1

lnt

，構(gòu)造g（t）=t-1-lnt（t＞1），證得g（t）遞增即可．

解答： （Ⅰ）解：f′（x）=1+lnx，
∴F（x）=

1

2

mx ²+f′（x）=

1

2

mx ²+1+lnx（x＞0）
F′（x）=mx+

1

x

=

mx2+1

x

，
當(dāng)m≥0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0恒成立，在（0，+∞）上遞增；
當(dāng)m＜0，F(xiàn)′（x）＞0得mx²+1＞0，0＜x＜

-1 m

，
F′（x）＜0得mx²+1＜0，x＞

-1 m

，
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上遞增；
當(dāng)a＜0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，

，1 m

）上遞增，在（

，1 m

，+∞）上遞減．
（Ⅱ）證明：k=

f′(x2)-f′(x1)

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

，
∵x₁＜x₂，∴l(xiāng)nx₁＜lnx₂．即k＞0．
要證k＜

1

x1

，即證x₁＜

x2-x1

lnx2-lnx1

，等價(jià)于證1＜

x2 x1 -1

ln x2 x1

，
令t=

x2

x1

，則只要證1＜

t-1

lnt

，
由t＞1，lnt＞0，故等價(jià)證lnt＜t-1．
設(shè)g（t）=t-1-lnt（t＞1），則g′（t）=1-

1

t

＞0，
故g（t）在（1，+∞）上遞增．
∴當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）＞g（1）=0，
即t-1＞lnt（t＞1）．
∴結(jié)論得證．

點(diǎn)評(píng)：本題中對(duì)函數(shù)單調(diào)性的分類討論、構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式都是難點(diǎn)，對(duì)綜合能力的考查達(dá)到了相當(dāng)?shù)母叨龋?/div>