解:(1)f(x)=-x
3-x
2+x+1,f′(x)=-3x
2-2x+1=-(3x-1)(x+1).
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201306/51d5fbe15ff7d.png)
f(x)的極大值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59630.png)
,極小值為0.
f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-1,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
),單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-1),(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59631.png)
).
(2)∵f(x)=-x
3-ax
2+b
2x+1,
∴f′(x)=-3x
2-2ax+b
2,又x
1,x
2為f(x)的極值點,
∴x
1,x
2為方程-3x
2-2ax+b
2=0的兩根,
x
1+x
2=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2216.png)
,x
1x
2=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12859.png)
,
∵|f(x
1)-f(x
2)|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3982.png)
|x
1-x
2|,
∴|-x
13-ax
12+b
2x
1+1+x
23+ax
23-b
2x
2-1|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3982.png)
|x
1-x
2|,
整理得|x
12+x
1x
2+x
22+a(x
1+x
2)-b
2|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3982.png)
,
即|9+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12859.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23887.png)
-b
2|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3982.png)
,
∴a
2+3b
2=1,∴a
2≤1.
∵k=f′(x)=-3x
2-2ax+b
2=-3x
2-2ax+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59632.png)
,
f′(x)
max=f′
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59633.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
,
∴m>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
.
分析:(1)把a=1,b=1代入函數(shù)f(x)=-x
3-ax
2+b
2x+1,求導(dǎo),分析導(dǎo)函數(shù)的符號,可得f(x)的單調(diào)性、極值;
(2)根據(jù)x
1,x
2為f(x)的極值點,得到x
1,x
2為方程-3x
2-2ax+b
2=0的兩根,利用韋達定理得到x
1+x
2=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2216.png)
,x
1x
2=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12859.png)
,并把|f(x
1)-f(x
2)|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3982.png)
|x
1-x
2|代入化簡得到|9+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12859.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23887.png)
-b
2|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3982.png)
,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到k=f′(x)=-3x
2-2ax+b
2=-3x
2-2ax+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59632.png)
,要求函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點的切線斜率恒小于m,實際上是求k=f′(x)的最大值.
點評:此題是個難題.考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值問題以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義.考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力.