Question

【題目】如圖，在四面體中，平面，.，.M是的中點(diǎn)，P是的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段上，且.

（1）證明：；

（2）若二面角的大小為60°，求的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

(1)以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出C的坐標(biāo)，然后算出和的坐標(biāo)，證明即可；

(2)算出平面的一個法向量，利用二面角的大小為60°求出C的坐標(biāo)即可.

（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)O，以O為原點(diǎn)，，所在射線y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

由題意知

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，

因?yàn)?/span>，

所以

因?yàn)辄c(diǎn)M為的中點(diǎn)，故

又點(diǎn)P為的中點(diǎn)，故

所以，

所以.

（2）解：設(shè)為平面的一個法向量

由，

知

取，得.

又平面的一個法向量為，于是

即.①

又，所以，

故

即.②

聯(lián)立①②，解得（舍去）或.

所以.

又是銳角，所以.