Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-alnx-

1

2

（a∈R，a≠0）．
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（x））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對任意的x∈[1，+∞）都有f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)恒成立問題,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當a=2時，求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義即可求曲線y=f（x）在點（1，f（x））處的切線方程；
（2）求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值即可實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=2時，f（x）=

1

2

x²-2lnx-

1

2

，
f（1）=0，即切點（1，0），
函數(shù)的導數(shù)為f′（x）=x-

2

x

，
則f′（1）=1-2=-1，
∴曲線y=f（x）在點（1，0）處的切線方程為y=-（x-1），即x+y-1=0；
（2）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
則函數(shù)的導數(shù)為f′（x）=x-

a

x

=

x2-a

x

，
若a＜0，則f′（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，遞增區(qū)間為（0，+∞），
若a＞0，由f′（x）＞0得x＞

a

，此時函數(shù)單調(diào)遞增，遞增區(qū)間為（

a

，+∞）
由f′（x）＜0，解得0＜x＜

a

，此時函數(shù)單調(diào)遞減，遞減區(qū)間為（0，

a

）．
（3）若對任意的都有f（x）≥0恒成立，
由（2）知，若a＜0，函數(shù)f（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，f（x）≥f（1）=0，滿足條件．
若a＞0，若a≤1，此時函數(shù)f（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，f（x）≥f（1）=0，滿足條件，
若a＞1，f（x）在[1，

a

]上單調(diào)遞減，此時f（x）≤f（1）=0，與f（x）≥0恒成立，滿足，
綜上a≤1．

點評：本題主要考查函數(shù)切線的求解，以及函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)最值的求解，綜合考查函數(shù)的導數(shù)的應(yīng)用．