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已知f(x)為定義在[-1,1]上的奇函數,當x∈[-1,0]時,函數解析式為f(x)=
1
4x
-
1
2x
(b∈R).
(Ⅰ)求f(x)在[0,1]上的解析式;
(Ⅱ)求f(x)在[0,1]上的最大值.
考點:函數的最值及其幾何意義,函數解析式的求解及常用方法
專題:函數的性質及應用,導數的綜合應用
分析:(Ⅰ)設x∈[0,1],則-x∈[-1,0].利用已知條件以及函數的奇偶性即可求f(x)在[0,1]上的解析式;
(Ⅱ)通過換元法化簡函數f(x)利用二次函數的性質求解在[0,1]上的最大值.
解答: 解:(Ⅰ)設x∈[0,1],則-x∈[-1,0].
∴f(-x)=
1
4-x
-
1
2-x
=4x-2x
又∵f(-x)=-f(x)
∴-f(x)=4x-2x
∴f(x)=2x-4x
所以,f(x)在[0,1]上的解析式為f(x)=2x-4x…(6分)
(Ⅱ)當x∈[0,1],f(x)=2x-4x=2x-(2x2,
∴設t=2x(t>0),則f(t)=t-t2
∵x∈[0,1],∴t∈[1,2].
當t=1時,取最大值為1-1=0.
所以,函數在[0,1]上的最大值分別為0…(12分)
點評:本題考查函數的解析式的求法,函數的最值的求法,奇偶性的應用,基本知識的考查.
練習冊系列答案
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3
5
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32
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-x2+3x(x>0)
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已知函數f(x)=
1
2
x2-alnx-
1
2
(a∈R,a≠0).
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(2)求函數f(x)的單調區(qū)間;
(3)若對任意的x∈[1,+∞)都有f(x)≥0恒成立,求實數a的取值范圍.

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