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20．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD，BC=$\sqrt{3}$AB，對角線AC=2．
（1）求對角線BD的長；
（2）求點A到BD的長．
（參考數據：$\sqrt{2+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$）

分析 （1）利用余弦定理，求對角線BD的長；
（2）由等面積可求點A到BD的距離．

解答 解：（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD，BC=$\sqrt{3}$AB，對角線AC=2．
∴AD=$\sqrt{2}$，AB=1，∠DAC=45°，∠BAC=60°，
∴BD=$\sqrt{2+1-2×\sqrt{2}×1×cos105°}$=$\sqrt{2+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$；
（2）設點A到BD的距離為h，則
由等面積可得$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×sin105°$=$\frac{1}{2}×$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$h，
∴h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查空間距離的計算，考查余弦定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：選擇題

14．已知a，b∈（0，+∞），函數y=loga（x-2b）的圖象過點（2，1），則$\frac{2}{a}$+$\frac{4}$的最小值是（　�。�
A．3B．6C．9D．4$\sqrt{2}$

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科目：高中數學 來源： 題型：選擇題

15．已知兩條直線l1：y=m和l2：y=$\frac{8}{2m+1}$（m＞0），l1與函數y=|log2x|的圖象從左到右相交于A、B，l2與函數y=|log2x|的圖象從左到右相交于C、D，記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a，b，當m變化時，$\frac{a}$的最小值為（　　）
A．16$\sqrt{2}$B．8$\sqrt{2}$C．8$\root{3}{4}$D．4$\root{3}{4}$

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科目：高中數學 來源： 題型：選擇題

8．若二面角α-l-β的平面角為θ，a，β的法向量分別為$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$，則cosθ等于（　�。�
A．$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$B．$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}$C．-$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$D．以上都不對

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

15．如圖，四邊形ABCD內接于圓O，AC與BD相交于點F，AE與圓O相切于點A，與CD的延長線相交于點E，∠ADE=∠BDC．
（Ⅰ）證明：A、E、D、F四點共圓；
（Ⅱ）證明：AB∥EF．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

5．如圖，△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，D為AC中點，AE⊥BD于點E，延長AE交BC于點F，沿BD將△ABC折成四面體A-BCD．
（Ⅰ）若M是FC的中點，求證：DM∥平面AEF；
（Ⅱ）若cos∠AEF=$\frac{1}{3}$，求點D到平面ABC的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：填空題

12．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2{e}^{x}，x≤0}\\{lnx，x＞0}\end{array}\right.$（其中e為自然對數的底數），則函數y=f（f（x））的零點等于e．

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科目：高中數學 來源： 題型：選擇題

9．若直線l：x+y-2=0與圓C：x2+y2-2x-6y+2=0交于A、B兩點，則△ABC的面積為（　�。�
A．$2\sqrt{3}$B．$2\sqrt{2}$C．$2\sqrt{5}$D．$2\sqrt{6}$

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

20．如圖，PA，PC為圓O的兩條不同切線，割線PDB與圓O交于不同兩點D，B．
（1）求證：$\frac{AD}{AB}$=$\frac{PC}{PB}$；
（2）若DA=4，AB=6，BC=3，求線段CD的長度．

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