如圖,已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E,F(xiàn),G分別是PD,PC,BC的中點(diǎn).
(1)求證:平面EFG⊥平面PAD;
(2)若M是線段CD上一點(diǎn),求三棱錐M-EFG的體積.
分析:(1)由線面垂直的性質(zhì)定理,證出CD⊥平面PAD.在△PCD中根據(jù)中位線定理,證出EF∥CD,從而EF⊥平面PAD,結(jié)合面面垂直的判定定理,可得平面EFG⊥平面PAD;
(2)根據(jù)線面平行判定定理,得到CD∥平面EFG,所以CD上的點(diǎn)M到平面EFG的距離等于點(diǎn)D到平面EFG的距離,得到三棱錐M-EFG的體積等于三棱錐D-EFG的體積.再由面面垂直的性質(zhì)證出點(diǎn)D到平面EFG的距離等于正△EHD的高,算出△EFG的面積,利用錐體體積公式算出三棱錐D-EFG的體積,即可得到三棱錐M-EFG的體積.
解答:解:(1)∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD?平面ABCD,CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD…(3分)
又∵△PCD中,E、F分別是PD、PC的中點(diǎn),
∴EF∥CD,可得EF⊥平面PAD
∵EF?平面EFG,∴平面EFG⊥平面PAD;…(6分)
(2)∵EF∥CD,EF?平面EFG,CD?平面EFG,
∴CD∥平面EFG,
因此CD上的點(diǎn)M到平面EFG的距離等于點(diǎn)D到平面EFG的距離,
∴VM-EFG=VD-EFG,
取AD的中點(diǎn)H連接GH、EH,則EF∥GH,
∵EF⊥平面PAD,EH?平面PAD,∴EF⊥EH
于是S△EFH=
1
2
EF×EH=2=S△EFG,
∵平面EFG⊥平面PAD,平面EFG∩平面PAD=EH,△EHD是正三角形
∴點(diǎn)D到平面EFG的距離等于正△EHD的高,即為
3
,…(10分)
因此,三棱錐M-EFG的體積VM-EFG=VD-EFG=
1
3
×S△EFG×
3
=
2
3
3
.…(12分)
點(diǎn)評:本題給出底面為正方形的四棱錐,求三棱錐M-EFG的體積并證明面面垂直,著重考查了錐體體積的求法和空間線面平行、面面垂直等位置關(guān)系判定的知識,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,如圖,已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,E、F分別是AB、PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AF∥平面PEC;
(Ⅱ)若PD與平面ABCD所成角為60°,且AD=2,AB=4,求點(diǎn)A到平面PED的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,E、F分別是AB、PD的中點(diǎn).
(1)求證:AF∥平面PEC;
(2)設(shè)CD的中點(diǎn)為H,求證:平面EFH∥平面PBC;
(3)求AC與平面PCD所成的角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥底面ABCD,AB=1,PA•AC=1,∠ABC=θ(0<θ<
π2
),則四棱錐P-ABCD的體積V的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•貴州模擬)如圖,已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,F(xiàn)是PD的中點(diǎn),E是線段AB上的點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)E是AB的中點(diǎn)時(shí),求證:AF∥平面PEC;
(Ⅱ)要使二面角P-EC-D的大小為45°,試確定E點(diǎn)的位置.

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