Question

12．如圖，平面PAB⊥平面α，AB?α，且△PAB為正三角形，點D是平面α內(nèi)的動點，ABCD是菱形，點O為AB中點，AC與OD交于點Q，I?α，且l⊥AB，則PQ與I所成角的正切值的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{-3+\frac{3\sqrt{7}}{2}}$
• B． $\sqrt{3+\frac{3\sqrt{7}}{2}}$
• C． $\sqrt{7}$
• D． 3

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，建立空間直角坐標系，設(shè)AB=2，∠OAD=θ（0＜θ＜π），把異面直線所成角的余弦值化為含有θ的三角函數(shù)式，換元后利用導數(shù)求最值．

解答 解：如圖，不妨以CD在AB前側(cè)為例．
以O(shè)為原點，分別以O(shè)B、OP所在直線為y、z軸建立空間直角坐標系，
設(shè)AB=2，∠OAD=θ（0＜θ＜π），則P（0，0，$\sqrt{3}$），
D（2sinθ，-1+2cosθ，0），
∴Q（$\frac{2}{3}sinθ$，$\frac{2}{3}cosθ-\frac{1}{3}$，0），
∴$\overrightarrow{QP}=（-\frac{2}{3}sinθ，\frac{1}{3}-\frac{2}{3}cosθ，\sqrt{3}）$，
設(shè)α與AB垂直的向量$\overrightarrow{n}=（1，0，0）$，則PQ與l所成角為α．
則|cosα|=|$\frac{\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-\frac{2}{3}sinθ}{\sqrt{\frac{32}{9}-\frac{4}{9}cosθ}}$|=$\frac{sinθ}{\sqrt{8-cosθ}}$=$\sqrt{\frac{1-co{s}^{2}θ}{8-cosθ}}$．
令t=cosθ（-1＜t＜1），則s=$\frac{1-{t}^{2}}{8-t}$，s′=$\frac{{t}^{2}-16t+1}{（8-t）^{2}}$，
令s′=0，得t=8-$3\sqrt{7}$，
∴當t=8-$3\sqrt{7}$時，s有最大值為16-6$\sqrt{7}$．
則cosα有最大值為$\sqrt{16-6\sqrt{7}}$，此時sinα最小值最小為$\sqrt{6\sqrt{7}-15}$．
∴正切值的最小值為$\sqrt{\frac{6\sqrt{7}-15}{16-6\sqrt{7}}}$=$\sqrt{3+\frac{3\sqrt{7}}{2}}$．
故選：B．

點評 本題考查異面直線所成角，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用空間向量及導數(shù)求最值，屬難題．