Question

已知f（x）是R上的奇函數，且滿足f（x+2）=-f（x），當x∈（0，2）時，f（x）=3^x，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）=

 

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Answer 1

考點：函數的周期性,函數奇偶性的判斷,函數的值

專題：函數的性質及應用

分析：由題意可得函數周期T=4，再由奇函數的性質綜合可得f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，而所求結果為0×503+f（2013）=f（1），進而可得答案．

解答： 解：由題意可得f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
故函數f（x）的周期T=4，又函數為奇函數，故有f（x）=f（-x），
令x=0可得f（0）=0，再把x=0代入原式可得f（2）=-f（0）=0，
而f（1）=3¹=3，f（3）=f（-1）=-f（1）=-3，
f（4）=f（0）=0，故f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）=0×503+f（2013）=f（1）=3
故答案為：3

點評：本題考查函數的周期性和奇偶性的判斷，屬基礎題．