1.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為菱形,且PA=AD=2,BD=2$\sqrt{2}$,E、F分別為AD、PC中點.
(1)求點F到平面PAB的距離;
(2)求證:平面PCE⊥平面PBC.

分析 (1)取PB的中點G,連接FG、AG,證得底面ABCD為正方形.再由中位線定理可得FG∥AE且FG=AE,四邊形AEFG是平行四邊形,則AG∥FE,運用線面平行的判定定理可得EF∥平面PAB,點F與點E到平面PAB的距離相等,運用線面垂直的判定和性質(zhì),證得AD⊥平面PAB,即可得到所求距離;
(2)運用線面垂直的判定和性質(zhì),證得BC⊥平面PAB,EF⊥平面PBC,再由面面垂直的判定定理,即可得證.

解答 (1)解:如圖,取PB的中點G,連接FG、AG,
因為底面ABCD為菱形,且PA=AD=2,$BD=2\sqrt{2}$,
所以底面ABCD為正方形.
∵E、F分別為AD、PC中點,
∴FG∥BC,AE∥BC,$FG=\frac{1}{2}BC$,$AE=\frac{1}{2}AD$,
∴FG∥AE且FG=AE,
∴四邊形AEFG是平行四邊形,∴AG∥FE,
∵AG?平面PAB,EF?平面PAB,∴EF∥平面PAB,
∴點F與點E到平面PAB的距離相等,
由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AD,
又AD⊥AB,PA∩AB=A,
AD⊥平面PAB,
則點F到平面PAB的距離為EA=1.
(2)證明:由(1)知AG⊥PB,AG∥EF,
∵PA⊥平面ABCD,∴BC⊥PA,
∵BC⊥AB,AB∩BC=B,∴BC⊥平面PAB,
由AG?平面PAB,
∴BC⊥AG,又∵PB∩BC=B,
∴AG⊥平面PBC,∴EF⊥平面PBC,
∵EF?平面PCE,
∴平面PCE⊥平面PBC.

點評 本題考查空間點到平面的距離,注意運用轉(zhuǎn)化思想,考查線面平行和垂直的判定和性質(zhì),以及面面垂直的判定,熟練掌握定理的條件和結論是解題的關鍵,屬于中檔題.

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