Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

ax2+(1-a)x+ln

1

x

．其中a＞-1．
（Ⅰ）若f（x）有兩個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)-1＜a≤2時(shí)，討論函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=

(x-1)(ax+1)

x

，f（x）有兩個極值點(diǎn)等價(jià)于方程f′（x）=0在（0，+∞）上有兩個不等的實(shí)根，直接由方程f′（x）=0有兩個不等的正根列式求解a的取值范圍；
（Ⅱ）分-1＜a＜0和a≥0兩種情況討論，當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到f（x）在（0，1）、(-

1

a

，+∞)上遞減，在(1，-

1

a

)上遞增，求出極小值f（1）＞0，而取x=-

4

a

時(shí)函數(shù)值小于0，從而說明f（x）的圖象與x軸有且僅有一個交點(diǎn)；當(dāng)a≥0時(shí)，求得函數(shù)的最小值為f（1），根據(jù)a與x的范圍分析最小值的符號，從而得到f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的情況．

解答：解：（Ⅰ）由f(x)=

1

2

ax2+(1-a)x+ln

1

x

，得
f′(x)=ax+(1-a)-

1

x

=

ax2+(1-a)x-1

x

=

(x-1)(ax+1)

x

，x＞0．
f（x）有兩個極值點(diǎn)等價(jià)于方程f′（x）=0在（0，+∞）上有兩個不等的實(shí)根，
等價(jià)于

a＞-1 a≠0 - 1 a ＞0 - 1 a ≠1

，解得-1＜a＜0．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-1，0）；
（Ⅱ）（1）當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，-

1

a

＞1，f′(x)=

a(x-1)(x+ 1 a )

x

，x＞0，
由

x＞0 f′(x)＜0

得，

x＞0 (x-1)(x+ 1 a )＞0

，解得0＜x＜1或x＞-

1

a

，
由

x＞0 f′(x)＞0

得，

x＞0 (x-1)(x+ 1 a )＜0

，解得1＜x＜-

1

a

，
從而f（x）在（0，1）、(-

1

a

，+∞)上遞減，在(1，-

1

a

)上遞增．
f(x)極小值=f(1)=1-

1

2

a＞1＞0．
而f(-

4

a

)=4+

4

a

-ln(-

4

a

)=

4(a+1)

a

-ln(-

4

a

)，
∵-1＜a＜0，∴

a+1

a

＜0，又-

4

a

＞4，∴ln(-

4

a

)＞0，從而f(-

4

a

)＜0．
又f（x）的圖象連續(xù)不斷，故當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f（x）的圖象與x軸有且僅有一個交點(diǎn)．
（2）當(dāng)a≥0時(shí)，∵x＞0，∴ax+1＞0，則當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0．
從而f（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，f(x)min=f(1)=1-

1

2

a．
①若0≤a＜2，則f（x）_min＞0，此時(shí)f（x）的圖象與x軸無交點(diǎn)．
②若a=2，則f（x）_min=0，f（x）的圖象與x軸有且僅有一個交點(diǎn)．
綜上可知，當(dāng)-1＜a＜0或a=2時(shí)，函數(shù)f（x）有且僅有一個零點(diǎn)；
當(dāng)0≤a＜2時(shí)，函數(shù)f（x）無零點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)的極值的求法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用函數(shù)的極值或最值分析函數(shù)的零點(diǎn)問題，是有一定難度題目．