【題目】已知函數(shù),,.
(1)求的極值;
(2)若對(duì)任意的,當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值;
(3)若函數(shù)恰有兩個(gè)不相等的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)的極小值為,無極大值;(2);(3) .
【解析】
(1)求出,判斷其符號(hào),得出的單調(diào)性即可
(2)將變形為,構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為在恒成立即可
(3)求出,然后分四種情況討論
(1),令,得.
列表如下:
1 | |||
- | 0 | + | |
極小值 |
∵,∴的極小值為,無極大值.
(2)∵,由(1)可知
等價(jià)于,
即.
設(shè),則在為增函數(shù).
∴在恒成立.
∴恒成立.
設(shè),∵在上恒成立
∴為增函數(shù).
∴在上的最小值為.
∴,∴的最大值為.
(3)
①當(dāng)時(shí),當(dāng)和時(shí),,單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減
所以的極大值為
所以函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)
②當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增.
③當(dāng)時(shí),當(dāng)和時(shí),,單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減
所以的極大值為
的極小值為
所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn).
④當(dāng)時(shí),當(dāng),,單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減
所以
Ⅰ:當(dāng)時(shí),即時(shí),函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn).
Ⅱ:當(dāng)時(shí),
所以存在,
所以函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn).
又
所以函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn).
綜上所述:實(shí)數(shù)的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,四邊形為矩形,,均為等邊三角形,,.
(1)過作截面與線段交于點(diǎn),使得平面,試確定點(diǎn)的位置,并予以證明;
(2)在(1)的條件下,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓離心率為,四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積是4.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與橢圓C交于P,Q均在第一象限,直線OP,OQ的斜率分別為,,且(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).證明:直線l的斜率k為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年7月,中國(guó)良渚古城遺址獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄,標(biāo)志著中華五千年文明史得到國(guó)際社會(huì)認(rèn)可.良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例,實(shí)證了中華五千年文明史.考古科學(xué)家在測(cè)定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律.已知樣本中碳14的質(zhì)量N隨時(shí)間T(單位:年)的衰變規(guī)律滿足(表示碳14原有的質(zhì)量),則經(jīng)過5730年后,碳14的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?/span>______;經(jīng)過測(cè)定,良渚古城遺址文物樣本中碳14的質(zhì)量是原來的至,據(jù)此推測(cè)良渚古城存在的時(shí)期距今約在5730年到______年之間.(參考數(shù)據(jù):,,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),為的導(dǎo)函數(shù).
(1)證明:在定義域上存在唯一的極大值點(diǎn);
(2)若存在,使,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)訄AP與圓:內(nèi)切,且與直線相切,設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)過曲線上一點(diǎn)()作兩條直線,與曲線分別交于不同的兩點(diǎn),,若直線,的斜率分別為,,且.證明:直線過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線過橢圓的右焦點(diǎn),拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn),且交橢圓于兩點(diǎn),點(diǎn)在直線上的射影依次為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線交軸于點(diǎn),且,當(dāng)變化時(shí),證明: 為定值;
(3)當(dāng)變化時(shí),直線與是否相交于定點(diǎn)?若是,請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo),并給予證明;否則,說明理由.
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【題目】已知的三個(gè)內(nèi)角,,所對(duì)的邊分別為,設(shè),.
(1)若,求與的夾角;
(2)若,求周長(zhǎng)的最大值.
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