Question

7．已知實(shí)數(shù)組成的數(shù)組（x₁，x₂，…，x_n）滿足條件
①x₁+x₂+…+x_n=0
②|x₁|+|x₂|+…+|x_n|=1
（1）當(dāng)n=2時(shí)，求x₁，x₂的值
（2）當(dāng)n=3時(shí)，求證：|3x₁+2x₂+x₃|≤1
（3）設(shè)a₁≥a₂≥a₃≥…≥a_n，且a₁＞a_n（n≥2）
求證：$|{{a_1}{x_1}+{a_2}{x_2}+{a_3}{x_3}+…+{a_n}{x_n}}|≤\frac{1}{2}（{a_1}-{a_n}）$．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=2時(shí)，通過已知條件列出方程組，然后求x₁，x₂的值；
（2）當(dāng)n=3時(shí)，利用條件列出x₁+x₂+x₃=0，|x₁|+|x₂|+|x₃|=1，通過|3x₁+2x₂+x₃|=|x₁+2（x₁+x₂+x₃）-x₃|，然后證明|3x₁+2x₂+x₃|≤1；
（3）通過a₁≥a_i≥a_n，且a₁＞a_n（i=1，2，3，…，n）．轉(zhuǎn)化為|（a₁-a_i）-（a_i-a_n）|≤|（a₁-a_i）+（a_i-a_n）|=|a₁-a_n|，推出|a₁+a_n-2a_i|≤|a₁-a_n|，借助（2）的證明方法即可證明．

解答 （1）解：當(dāng)n=2時(shí)，①x₁+x₂=0；②|x₁|+|x₂|=1
由①得x₂=-x₁，再由②知x₁≠0，且x₂≠0．
當(dāng)x₁＞0時(shí)，x₂＜0．得2x₁=1，所以x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=-$\frac{1}{2}$…（2分）
當(dāng)x₁＜0時(shí)，同理得x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂-$\frac{1}{2}$…（4分）
（2）證明：當(dāng)n=3時(shí)，
由已知x₁+x₂+x₃=0，|x₁|+|x₂|+|x₃|=1．
所以|3x₁+2x₂+x₃|=|x₁+2（x₁+x₂+x₃）-x₃|=|x₁-x₃|≤|x₁|+|x₃|≤1．…（9分）
（3）證明：因?yàn)閍₁≥a_i≥a_n，且a₁＞a_n（i=1，2，3，…，n）．
所以|（a₁-a_i）-（a_i-a_n）|≤|（a₁-a_i）+（a_i-a_n）|=|a₁-a_n|，
即|a₁+a_n-2a_i|≤|a₁-a_n|（i=1，2，3，…，n）．…（11分）
|$\sum_{i=1}^{n}$a_ix_i|=$\frac{1}{2}$|$\sum_{i=1}^{n}$（2ai-a1-an）xi|≤$\frac{1}{2}$|$\sum_{i=1}^{n}$（|a1+an-2ai||xi|）≤$\frac{1}{2}$|$\sum_{i=1}^{n}$（|a1-an||xi|）≤$\frac{1}{2}$（a1-an）
∴$|{{a_1}{x_1}+{a_2}{x_2}+{a_3}{x_3}+…+{a_n}{x_n}}|≤\frac{1}{2}（{a_1}-{a_n}）$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查含絕對(duì)值不等式的證明，方程組的求法，注意求和表達(dá)式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力．