Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+x²+ax（a∈R）
（1）若函數(shù)f（x）有一個極大值和極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）已知A（x₁，f（x₁））B（x₂，f（x₂）（x₁≠x₂）是函數(shù)f（x）在x∈[1，+∞）的圖象上的任意兩點(diǎn)，且滿足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞2，求a的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，由條件可知2x²+ax+1=0有兩個不等的正根，根據(jù)判別式大于0，和韋達(dá)定理，即可得到；
（2）因為是不等式恒成立，因此將原式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，通過變形構(gòu)造出函數(shù)φ（x）=f（x）-2x，通過研究該函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于等于0恒成立，最終使問題獲得解答．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx+x²+ax的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

1

x

+2x+a=

2x2+ax+1

x

（x＞0），
由于函數(shù)f（x）有一個極大值和極小值點(diǎn)，且大于0，
則2x²+ax+1=0有兩個不等的正根，即有判別式a²-8＞0，且-

a

2

＞0，

1

2

＞0，
解得，a＜-2

2

．
則有實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2

2

）；
（2）不妨設(shè)x₁＞x₂≥1，不等式

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞2轉(zhuǎn)化為f（x₁）-2x₁＞f（x₂）-2x₂，
令φ（x）=f（x）-2x，可知函數(shù)φ（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，
故φ'（x）=f'（x）-2≥0恒成立，
故

1

x

+2x+a-2≥0恒成立，即2-a≤

1

x

+2x恒成立．
當(dāng)x∈[1，+∞）時，函數(shù)y=

1

x

+2x的導(dǎo)數(shù)y′=2-

1

x2

＞0，即有函數(shù)y單調(diào)遞增，
故當(dāng)x=1時，函數(shù)y=

1

x

+2x取得最小值3，即有2-a≤3，解得，a≥-1，
則實(shí)數(shù)a的最小值為-1．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查參數(shù)分離法，以及構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．