Question

已知函數(shù)g（x）="aln" x·f（x）=x³ +x²+bx
（1）若f（x）在區(qū)間[1，2]上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的范圍；
（2）若對任意x∈[1，e]，都有g(shù)（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)b=0時(shí)，設(shè)F（x）=，對任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=F（x）上是否存在兩點(diǎn)P，Q，使得△POQ是以O(shè)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，而且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上？請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）;（3）詳見解析.

試題分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)樵趨^(qū)間不單調(diào)，所以導(dǎo)函數(shù)的值不恒大于或小于0，即函數(shù)的最大值大于0，函數(shù)的最小值小于0，即不單調(diào)；
（2）根據(jù)條件化簡得，，，求出， 的最小值即可確定的范圍,首先對函數(shù)求導(dǎo)，確定單調(diào)性，求出最值；
（3）先假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)滿足題意，設(shè)出，則，從而由是以O(shè)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形可建立關(guān)系式，分情況求解即可．
試題解析：（1）由
得   因在區(qū)間[1，2]上不是單調(diào)函數(shù)
所以在[1，2]上最大值大于0，最小值小于0

     ∴              4分
（2）由，得．
，且等號不能同時(shí)取，，即 
恒成立，即          6分
令，求導(dǎo)得，，
當(dāng)時(shí)，，從而，
在上為增函數(shù)，，
．                      8分
（3）由條件，，
假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)，滿足題意，則，只能在軸兩側(cè)，  9分
不妨設(shè)，則，且．
是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，，
  （*），
是否存在，等價(jià)于方程在且時(shí)是否有解．
①若時(shí)，方程為，化簡得，此方程無解；       12分
②若時(shí)，方程為，即，
設(shè)，則，
顯然，當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù)，
的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824055835428714.png" style="vertical-align:middle;" />，即，當(dāng)時(shí)，方程（*）總有解．
對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線 上總存在兩點(diǎn)，，使得是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上．    14分