Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣a|+2|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值為1．
（1）求a+b的值；
（2）若 恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：

f（x）在區(qū)間（﹣∞，﹣b]上遞減，在區(qū)間[﹣b，+∞）上遞增，

所以f（x）min=a+b．

所以a+b=1．

（2）解：因?yàn)閍＞0，b＞0，且a+b=1，

所以 ，

又因?yàn)? ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立，

所以 時(shí)， 有最小值 ．

所以 ，所以實(shí)數(shù)m的最大值為

【解析】（1）寫(xiě)出分段函數(shù)，得出f（x）min=a+b，即可求a+b的值；（2）因?yàn)閍＞0，b＞0，且a+b=1，利用“1”的代換，求最值，根據(jù) 恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的絕對(duì)值不等式的解法，需要了解含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)才能得出正確答案．