Question

已知函數(shù)f（x）=b•a^x（其中a，b為常量，且a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過點A（1，6），B（3，24）．
（1）試確定f（x）的解析式；
（2）若不等式（

1

a

）^x+（

1

b

）^x≥m在x∈（-∞，1]時恒成立，求實數(shù)m的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將兩個點的坐標代入解析式，得到關(guān)于a，b的方程組，求出a，b的值；
（2）轉(zhuǎn)化為m≤[（

1

a

）^x+（

1

b

）^x]_min，然后再研究該函數(shù)的單調(diào)性求其最小值即可．

解答： 解：（1）將點A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a^x，
得

6=b•a 24=b•a3

，結(jié)合a＞0且a≠1得b=3，a=2，
∴f（x）=3•2^x．
（2）不等式 （

1

2

）^x+（

1

3

）^x≥m在x∈（-∞，1]時恒成立，
只需m≤[（

1

2

）^x+（

1

3

）^x]_min即可，
易知函數(shù)y=（

1

2

）^x+（

1

3

）^x在x∈（-∞，1]上是減函數(shù)，
∴m≤[（

1

2

）^x+（

1

3

）^x]_min=

1

2

+

1

3

=

5

6

．
故實數(shù)m的最大值為

5

6

．

點評：本題考查了不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解，其中在研究函數(shù)的性質(zhì)時，用到了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，因此要重視對基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)和鞏固．