Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=

3

，點E在棱AB上．
（1）求異面直線D₁C與A₁D所成的角的余弦值；
（2）當二面角D₁-EC-D的大小為45°時，求點B到面D₁EC的距離．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)B₁C，則∠D₁CB₁是異面直線D₁E與A₁D所成的角，利用余弦定理，求異面直線D₁C與A₁D所成的角的余弦值；
（2）利用VB-CED1=VD1-BCE，得

1

3

•

1

2

CE•D₁F•h=

1

3

•

1

2

BE•BC•DD₁，即可求點B到面D₁EC的距離．

解答： 解：（1）連結(jié)B₁C，∵A₁D∥B₁C
∴∠D₁CB₁是異面直線D₁E與A₁D所成的角
在△D₁CB₁中，D₁C=D₁B₁=2，B₁C=

2

，
∴cos∠D₁CB₁=

2

4

∴異面直線D₁C與A₁D所成的角的余弦值為

2

4

．…（5分）
（2）作DF⊥CE，垂足為F，連結(jié)D₁F，則CE⊥D₁F．
所以∠DFD₁為二面角D₁-EC-D的平面角，且∠DFD₁=45°．
于是DF=DD₁=1，D₁F=

2

，
所以Rt△BCE≌Rt△FDC，所以CE=CD=

3

，
又BC=1，所以BE=

2

．…（10分）
設(shè)點B到平面D₁EC的距離為h，
則由VB-CED1=VD1-BCE，得

1

3

•

1

2

CE•D₁F•h=

1

3

•

1

2

BE•BC•DD₁，
即

3

h=1，∴h=

3

3

．…（12分）

點評：本題主要考查空間異面直線的夾角問題與點到平面的距離，而空間角解決的關(guān)鍵是做角，由圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確作出平面角來，再結(jié)合解三角形的有關(guān)知識求出答案即可，求點到平面的距離的方法：一般是利用等體積法或者借助于向量求解．