Question

17．已知a＞0，函數(shù)f（x）=a²x³-3ax²+2，g（x）=-3ax+3．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的圖象在點x=1處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的極值；
（3）若?x₀∈（0，$\frac{1}{2}$]，使不等式f（x₀）＞g（x₀）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由導數(shù)值即曲線上過該點的切線的斜率求出斜率，后由點斜式寫出切線方程；
（2）求出原函數(shù)的導函數(shù)，求出導函數(shù)的兩個零點，由零點對定義域分段，得到在各區(qū)間段內(nèi)導函數(shù)的符號，判斷出原函數(shù)的單調(diào)性，從而求出原函數(shù)在[-1，1]上的極值點，進一步求得函數(shù)的極值．
（3）設(shè)F（x）=f（x）-g（x），求導，由F（x）為增函數(shù)，根據(jù)閉區(qū)間x的范圍，求出F（x）的最大值，只要F（x）_max＞0即可，列出不等式求得a的范圍．

解答 解：由f（x）=a²x³-3ax²+2，求導，f′（x）=3a²x²-6ax，
（Ⅰ）當a=1時，f′（x）=3x²-6x，f′（1）=-3，f（1）=0，
∴f（x）在點（1，f（1））的切線方程的斜率k=-3，直線方程y=-3（x-1），即y+3x-3=0，
函數(shù)f（x）的圖象在點x=1處的切線方程y+3x-3=0；
（Ⅱ）令f′（x）=0，得：x₁=0，x₂=$\frac{2}{a}$，
（1）當0＜$\frac{2}{a}$＜1，即a＞2時，x∈（-∞，0），（$\frac{2}{a}$，+∞）時，f′（x）＞0，
當x∈（0，$\frac{2}{a}$）時f′（x）＜0，
∴當x在區(qū)間（-1，1）上，x，f′（x），f（x）變化，

x	（-1，0）	0	（0，$\frac{2}{a}$）	$\frac{2}{a}$	（$\frac{2}{a}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上有極大值f（0）=2，極小值f（$\frac{2}{a}$）=$\frac{2a-4}{a}$；
當$\frac{2}{a}$=1，即a=2時，x∈（-∞，0），（1，+∞）時，f′（x）＞0，
x∈（0，1）時f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上有極大值f（0）=2，極小值f（1）=a²-3a+2；
當$\frac{2}{a}$＜1，即0＜a＜2時，x∈（-∞，0），（$\frac{2}{a}$，+∞）時f′（x）＞0，
x∈（0，$\frac{2}{a}$）時f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上有極大值f（0）=2．
綜上，當a＞2時，函數(shù)f（x）在[-1，1]上有極大值f（0）=2，極小值f（$\frac{2}{a}$）=$\frac{2a-4}{a}$；
當a=2時，函數(shù)f（x）在[-1，1]上有極大值f（0）=2，極小值f（1）=a²-3a+2；
當0＜a＜2時，函數(shù)f（x）在[-1，1]上有極大值f（0）=2；
（3）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=a²x³-3ax²+3ax-1，（x∈（0，$\frac{1}{2}$]），
對F（x）求導，得F′（x）=3a²x²-6ax+3a=3a²x²+3a（1-2x）＞0（a＞0），
∴F（x）在（0，$\frac{1}{2}$]上為增函數(shù)，則F（x）_max=F（$\frac{1}{2}$）．
依題意，只需F（x）_max＞0，即a²×$\frac{1}{8}$-3a×$\frac{1}{4}$+3a×$\frac{1}{2}$-1＞0，
∴a²+6a-8＞0，解得a＞-3+$\sqrt{17}$或a＜-3-$\sqrt{17}$（舍去）．
于是，所求實數(shù)a的取值范圍是（-3+$\sqrt{17}$，+∞）．

點評 考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，掌握不等式成立時所取的條件，將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題解決，考查構(gòu)造函數(shù)法思想的運用．屬于難題．