Question

18．已知函數(shù)f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-a）．
（Ⅰ）當(dāng)a=7時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求實(shí)數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=7時(shí)便可得出x滿足：|x+1|+|x-2|＞7，討論x，從而去掉絕對(duì)值符號(hào)，這樣便可求出每種情況x的范圍，求并集即可得出函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）由f（x）≥3即可得出|x+1|+|x-2|≥a+8恒成立，而可求出|x+1|+|x-2|≥3，這樣便可得出3≥a+8，解出該不等式即可得出實(shí)數(shù)a的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題設(shè)知：|x+1|+|x-2|＞7；
①當(dāng)x＞2時(shí)，得x+1+x-2＞7，解得x＞4；
②當(dāng)1≤x≤2時(shí)，得x+1+2-x＞7，無(wú)解；
③當(dāng)x＜-1時(shí)，得-x-1-x+2＞7，解得x＜-3；
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-3）∪（4，+∞）；
（Ⅱ）解：不等式f（x）≥3，即|x+1|+|x-2|≥a+8；
∵x∈R時(shí)，恒有|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3；
又不等式|x+1|+|x-2|≥a+8解集是R；
∴a+8≤3，即a≤-5；
∴a的最大值為-5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，函數(shù)定義域的定義及求法，不等式的性質(zhì)，以及含絕對(duì)值不等式的解法，恒成立問題的處理方法．