【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求證:;
(2)討論函數(shù)零點的個數(shù).
【答案】(1)見證明;(2)見解析
【解析】
(1),對函數(shù)求導(dǎo),研究函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)最小值,證得函數(shù)的最小值大于0;(2)對函數(shù)求導(dǎo),研究函數(shù)的單調(diào)性,得到函數(shù)的最值和極值,進而得到參數(shù)的范圍.
證明:當(dāng)時,.
令則
當(dāng)時,;當(dāng)時,,時,
所以在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
所以是的極小值點,也是最小值點,
即
故當(dāng)時,成立,
,由得.
當(dāng)時,;當(dāng)時,,
所以在上單調(diào)減,在單調(diào)增,
所以是函數(shù)得極小值點,也是最小值點,
即
當(dāng),即時,沒有零點,
當(dāng),即時,只有一個零點,
當(dāng),即時,因為所以在上只有一個零點;
由,得,令,則得,所以,于是在在上有一個零點;
因此,當(dāng)時,有兩個零點.
綜上,時,沒有零點;
時,只有一個零點;
時,有兩個零點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x0時,f(x)=.
(1)求當(dāng)x<0時,f(x)的解析式;
(2)作出函數(shù)f(x)的圖象,并指出其單調(diào)區(qū)間.
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【題目】祖暅原理:兩個等高的幾何體,若在所有等高處的水平截面的面積相等,則這兩個幾何體的體積相等.利用祖暅原理可以求旋轉(zhuǎn)體的體積.比如:設(shè)半圓方程為,半圓與軸正半軸交于點,作直線,交于點,連接(為原點),利用祖暅原理可得:半圓繞軸旋轉(zhuǎn)所得半球的體積與繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積相等.類比這個方法,可得半橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積是_________.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,將圓上每一點的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍,再把所得曲線上每一點向下平移1個單位得到曲線.以為極點,以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程是.
(1)寫出的參數(shù)方程和的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點在上,點在上,求使取最小值時點的直角坐標(biāo).
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【題目】已知拋物線,焦點為,準線為,線段的中點為.點是上在軸上方的一點,且點到的距離等于它到原點的距離.
(1)求點的坐標(biāo);
(2)過點作一條斜率為正數(shù)的直線與拋物線從左向右依次交于兩點,求證:.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,已知橢圓 C:的離心率為,且過點 (,),點 P 在第四象限, A 為左頂點, B 為上頂點, PA 交 y 軸于點 C,PB 交 x 軸于點 D.
(1) 求橢圓 C 的標(biāo)準方程;
(2) 求 △PCD 面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)若函數(shù)的圖象在處的切線為,當(dāng)實數(shù)變化時,求證:直線經(jīng)過定點;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個極值點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對同一類的四項參賽作品,只評一項一等獎,在評獎揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對這四項參賽作品預(yù)測如下:
甲說:“或作品獲得一等獎”;
乙說:“作品獲得一等獎”;
丙說:“, 兩項作品未獲得一等獎”;
丁說:“作品獲得一等獎”.
若這四位同學(xué)只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是( )
A. B. C. D.
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